ні.
Супроводжуючий тригранник в довільній параметризації.
Нехай крива задана:.
Затвердження 1.
Вектор лежить в дотичної площини кривої в даній точці.
Доказ:
, тоді.
Розглянемо вектор
вектор лежить у площині векторів, тобто в дотичної площини.
Вектора - лежать в дотичній площині кривої.
перпендикулярний дотичної площини, отже, - направляючий вектор бинормали.
- направляючий вектор дотичної.
- направляючий вектор головної нормалі.
- права трійка векторів.
Визначення: Вектора називаються напрямними векторами ребер супроводжуючого тригранника.
Завдання 1.
Циліндр радіуса R проходить через центр кулі радіуса 2R. У перетині циліндра і кулі лежить крива Вівіані. Записати параметричні рівняння цієї кривої.
Рішення: Нехай
, а
Записати напрямні вектора граней і ребер супроводжуючого тригранника.
Репер Френе.
Визначення: Репер Френе - три одиничних вектора, що задають напрямки ребер супроводжуючого тригранника.
Нехай крива задана.
- направляючий вектор головної нормалі, але не поодинокий.
- одиничний вектор головної нормалі.
.
- права трійка векторів становить репер Френе.
Властивості:
·
·
·
Лемма.
Дано дві некомпланарних впорядковані трійки векторів і, причому, тоді й однакової орієнтації; і різної орієнтації.
Доведемо, що.
Доказ:
,
,.
- права трійка векторів,
.
Репер Френе у довільній параметризації.
Нехай крива задана.
- дотичний вектор,
- вектор бинормали,
- вектор головної нормалі.
,
,
.
- ліва трійка,
- права трійка.
Формули Сере-Френе.
,
.
За лемі
.
.
- формули Сере-Френе.
Завдання (Розендорн, стор 12, № 20 б))
, знайти репер Френе.
,,
,
.
,
,
,
.
Аналогічно для.
Кривизна і кручення кривої. Кривизна.
Визначення: Межа відносини кута повороту дотичній на дузі кривої, стягує до даній точці, до довжини цієї дуги називається кривизною кривої в даній точці.
- кривизна кривої.
Затвердження (про кривизну):
Величина k в формулах Серрі-Френе дорівнює кривизні кривої.
Лемма:
Ставлення модуля прирощення одиничного змінного вектора до кута його повороту при прагненні цього кута до нуля дорівнює одиниці.
Доказ леми:
,
.
(хорда в межі дорівнює довжині дуги кола).
.
Отже в (*) замінюємо:.
Доведення твердження:
.
За лемі:.
Кручення.
Визначення: Величина в формулах Сере-Френе називається крутінням кривої.
Затвердження (про крутіння):
Модуль кручення дорівнює межі відносини кута повороту бинормали на дузі, стягує до даній точці, до довжини цієї дуги.
