ежну наступного, більш високого чи більш низького власному значенню, множачи відповідно перше функцію на оператор або. Це буде корисно нам пізніше, коли потрібно буде висловити вплив цього оператора за допомогою нормованих власних функцій. Зауважимо насамперед, що де C - постійна, яку треба вибрати так, щоб зробити також нормованої функцією. Оскільки передбачається, що - нормована функція, то
(44)
Помічаючи, що отримуємо
(45)
Для отримання напишемо
Скориставшись також доведеним співвідношенням
,
. (46)
Загальний вид рішення, n-я власна функція дорівнює полиному n-го ступеня, помноженому на Останній множник забезпечує прагнення хвильової функції до нуля при. Поліном hn має я коренів, отже, хвильова функція має я вузлів. У цьому відношенні вона якісно схожа на хвильові функції наближення, так як при n вузлах вона буде зазнавати відповідне число коливань. Ми бачимо ще раз, що номер квантового стану дорівнює числу вузлів рішення. У загальному випадку хвильова функція коливається всередині класично досяжною області (Е> V) і загасає по гауссовскому законом там, де Е < V.
На наступному етапі розглядається рівняння Шредінгера для лінійного гармонічного осцилятора за схемою, описаною Бомом. [1,12,13,14,15,23,24]
Нарешті, рішення останньої простої задачі квантової механіки про прямокутному потенційному бар'єрі може бути записано відразу на основі формул, отриманих для потенційної ями кінцевої глибини. Для цього треба тільки змінити в них знак потенційної енергії на протилежний:-U0 ® + U0.
Виклад матеріалу для бар'єру довільної форми традиційно.
На закінчення відзначимо, що метод факторизації отримав подальший розвиток у наш час. [1]
1. ТЕОРІЯ факторизацию
У цьому розділі ми буде виходити з припущення, що рівняння факторізовано, а потім на підставі п'яти теорем перейдемо до розгляду випливають звідси наслідків. Ми побачимо, що факторизація рівняння дозволяє негайно виписати шукані власні значення та нормовані власні функції.
У наступному розділі буде показано, як здійснюється факторизація даного рівняння. Це завдання фактично буде зведена до використання таблиці, яка містить тільки шість загальних типів факторизации. Така таблиця з багатьма важливими приватними випадками дана в кінці статті.
Таким чином, цей і наступний розділи містять тільки ідею і техніку методу факторизації, на яких засновані приклади, що розглядаються в інших розділах статті. Після вивчення читач може приступити до читання майже будь-якого наступного розділу, не втрачаючи безперервності викладу.
1.1 Стандартна форма
Для систематизації запропонованої процедури аналізованих рівняння завжди буде перетворюватися до стандартної форми
, (1.1.1)
де параметр,,, ...; тут буде прийнято, але ми побачимо, що це припущення не впливає на остаточні результати. Таке перетворення можливо, якщо у вихідній формі функції P, ненегативні і вс...
