юди існує. Перетворення, що зв'язує ці рівняння, має вигляд:
(1.1.2)
1.2 Визначення і основна ідея
Теорема 1. Ми скажемо, що рівняння (1.1.1) доп?? Скает факторизацию, якщо воно може бути замінено будь-яким із двох наступних рівнянь:
(1.2.1а)
(1.2.1b)
(1.2.1с)
Залежність y від х тут не вказана. Пізніше буде розглянуто, як знаходяться і в даній задачі. Слід зазначити, що (1.2.1а) може бути отримане з (1.2.1b), якщо переставити оператори Н і замінити m на m +1 всюди, крім функції. Тепер може бути встановлена ??основна ідея методу факторизації.
Теорема 1. Якщо - рішення даного диференціального рівняння, то
(1.2.2а)
, (1.2.2b)
також є рішеннями, відповідними тому ж значенню, але іншим m у відповідності з наведеними формулами.
Отже, якщо є одне рішення, то можна, використовуючи оператори H, перейти до інших рішень з меншим або більшим значенням m. Продовжуючи цей процес, можна отримати сходи рішень, що відносяться до фіксованого.
Для доказу помножимо (1.2.1а) на, a (1.2.1b) на. В результаті отримаємо
(1.2.3а)
(1.2.3b)
Порівнюючи (1.2.3а) с (1.2.1b), переконуємося, що як це було зазначено вище, є рішенням нашого рівняння, в якому m замінено на m +1. Аналогічно - рішення рівняння, в якому m замінено на m - 1.
Тепер можна інтерпретувати рівняння (1.2.1) відповідно з визначенням: якщо зробити один крок вгору, а потім один крок вниз по сходах (або навпаки), то виходить вихідне рішення, але помножене на [або на]. Звичайно, за допомогою (1.2.2) можна дійти до рішення, яке тотожне дорівнює нулю; цей важливий випадок, що не порушує теореми 1, буде розглянуто в теоремі 4. [16]
В обмеженому сенсі рівняння (1.2.2) еквівалентні вихідного диференціального рівняння (1.1.1) або (1.2.1). Обмеження полягає в тому, що, відповідно до інтерпретації (1.2.2), нам слід розглядати тільки квадратично інтегруються рішення (1.1.1). Через ймовірнісної інтерпретації хвильової функції в квантовій механіці ми будемо шукати тільки ті рішення, які задовольняють цій умові. (Проте ми поки не робили різниці між функціями, що задовольняють і не задовольняють цій умові; наша теорема справедлива в обох випадках.)
1.3 Спряженість операторів
Теорема 2.
якщо звертається в нуль на кінцях інтервалу і подінтеграл'ное вираз безперервно на інтервалі. Доказ очевидно. Наша теорема означає, що оператори Н взаємно сполучені.
1.4 Граничне умова
Нас цікавитимуть диференціальні рівняння, коефіцієнти яких мають сингулярності тільки на кінцях області зміни незалежної змінної. Дійсно, буде показано, що завжди, коли можлива факторизація, можна вибрати область з такими властивостями. Отже, квадратична интегрируемость рішення залежить тільки від поведінки рішення поблизу кінцевих точок, і тому умова квадратичної інтегрованості є, по суті, граничним ум...
