ify"> де hn - цікавий для нас поліном. hn називається поліномом Ерміта - Чебишева. Можна також написати
(25)
Кілька більш зручне вираз для hn можна отримати, якщо взяти до уваги, що для довільної функції справедливо наступне співвідношення:
(26)
Тому ми отримуємо
(27)
(28)
Нормуючий множник. Для обчислення нормирующего множника вважаємо
і (29)
Умова нормировки приймають вид
(30)
Проинтегрируем тепер цей вираз по частинах га раз, помічаючи, що внеінтегральние члени завжди дорівнюють нулю. Кожен раз при інтегруванні частинами ми виносимо множник - 1. Це дає (- 1) n, що погашає множник (- 1) n, що стоїть перед інтегралом. У підсумку отримуємо
(31)
Так як hn (y) - поліном п-го ступеня, то диференціювання знищить всі члени, за винятком тих, які містять уп. Здійснюючи підстановку і помічаючи, що знаходимо
(32)
Щоб обчислити Ап, зауважимо, що коефіцієнт при уп у вираженні дорівнює точно 2n. Отже, отримуємо Ап=2п. Тоді рівняння прийме вид
або (33)
Тоді нормовану хвильову функцію як функцію у можна записати
. (34)
Для нормировки хвильової функції як функції ми повинні помножити її на Тоді нормована хвильова функція як функція х буде
(35)
Породжуюча функція. Дуже корисне співвідношення для полінома Ерміта - Чебишева може бути отримано, якщо hn (y) помножити на і потім підсумувати за п. Це дає
(36)
Якщо функцію розкласти в ряд за ступенями t, то ми в точності одержимо написаний вище ряд. Отже, можна записати
(37)
Величина називається породжує функцією полінома Ерміта - Чебишева, тому що при її розкладанні в ряд за ступенями t можна отримати всі ці поліноми. Рекурентні співвідношення. Породжує функцію можна використовувати для виведення багатьох корисних співвідношень між різними поліномами Ерміта - Чебишева. Наприклад, якщо продифференцировать рівняння (30) по у, то отримаємо
. (38)
Так як це має бути справедливо при всіх t, то коефіцієнти при однакових ступенях t повинні бути рівні. Рівняння (13.31) може бути записано у вигляді
(39)
Тоді отримуємо
. (40)
Інша співвідношення виходить при диференціюванні по t:
(41)
Це рівняння можна переписати так:
(42)
звідси отримуємо
. (43)
Деякі допоміжні математичні співвідношення. Ми вже бачили, що, задаючи власну функцію, можна завжди побудувати власну функцію, принал...
