сільне Наступний:
.
Малюнок 1.4 - Доповнення множини ()
Визначення. Різніцею множини і (або відноснім ДОПОВНЕННЯ) назівається множини, что складається Із всех елементів множини, Які НЕ втрімуються в. Різніцю множини и позначають. Це визначення рівносільне Наступний:
А В={x | x? А і x? У}.
Малюнок 1.5 - Різниця множини і ()
Приклад. Нехай,. Знайте А В.
розв язання:
А В={5,6}.
Визначення. Симетричного різніцею множини и назівається множини, что складається з об'єднання всех елементів, что належати множіні и не містяться в, и елементів, что належати множіні и не містяться в. Симетричного Різниця множини и позначається А? В. Це визначення рівносільне Наступний:
А? В={x | (x? А і x? В) або (x? В і x? А)}, тобто.
Малюнок 1.6 - симетричного Різниця множини і (А? В)
Визначення. Операції, Які віконують над однією множини, назівають унарними. Операції, Які віконують над двома множини, назівають бінарнімі. Прикладом унарної операции є знаходження ДОПОВНЕННЯ. Прикладами бінарніх операцій є об'єднання, перетінання, Різниця, симетричного Різниця.
Приклад. Нехай,. Знайте.
розв язання:
.
Приклад. Нехай,;. Знайте,,,,.
розв язання: Зобразімо задані множини на чісловій осі
Тоді шукані множини будут мати Наступний вигляд:
1.5 Властивості операцій над множини
Операції над множини, як и операции над числами, мают деякі Властивості (табл.1). Останні віражаються сукупністю тотожня Незалежності від конкретних множини, что входять у ЦІ тотожності та є підмножінамі Деяк універсуму U.
Таблиця 1. Властивості операцій над множини
Комутатівність1а) А? В=В? А1б) А? В=В? ААсоціатівність2а) А? (В? С)=(А? В)? С2Б) А? (В? С)=(А? В)? СДістрібутівність3а) А? (В? С)=(А? В)? (А? С) 3б) А? (В? С)=(А? В)? (А? С) Властивості порожньої множини? та універсуму U4а) А? ? =A4б) А? U=A5а) 5б) 6а) А? U=U6б) А? ? =? 7а) 7б) Самопоглінання (закон ідемпотентності) 8а) А? A=A8б) А? A=AПоглінання9а) А? (А? В)=А9б) А? (А? В)=АЗаконі де Моргана10а) 10б) Властивості ДОПОВНЕННЯ, різниці, диз юнктівної сумі11) 12) 13) 14) А? В=В? А15) А? (В? С)=(А? В)? С16) А? ? =? ? A=A
Пріоритет операцій: 1.; 2.; 3.; 4.; 5..
Взагалі Поняття операція очень Важлива и его широко застосовують у різніх Галузо математики для конструювання одних про єктів з других, для визначення НОВИХ математичних про єктів ТОЩО. Зокрема, вікорістовуючі представлення про операции об'єднання и Перетин множини, що вводять Поняття розбіття.
Визначення. Сукупність підмножін A1, A2, ..., An множини A назівається розбіттям П множини A, если:
. ;
. Ai? Aj =? , I, j=1, .., n, i? j.
Приклад. Нехай А={r1, r2, ..., r6}. Розглянемо Такі множини підмножін:
П1={{r1}, {r2}, {r3, r4}, {r5, r6}};
П2={{r1, r2}, {r3, r4, r5, r6}};
П3={{r1, r2, r3, r4, r5, r6}};
П4={{r1, r2, r3, r4}, {r4, r5, r6}};
П5={{r1, r2}, {r3, r4, r6}}.
Тут множини підмножін П1, П2, П3 - розбіття, а множини підмножін П4 НЕ є розбіттям, того что НЕ віконується Умова 2). Множини підмножін П5 НЕ є розбіттям, того что НЕ віконується Умова 1).
Розбіття часто вікорістовується при постановках завдань керування. Например, если R - множини лекцій, что повінні буті проведені k лекторами, причому Кожна лекція проводитися одним лектором, то тоді закріплення лекцій - розбіття, что Включає k підмножін лекцій. Умова 1) гарантує, что всі лекції будут проведені, а Умова 2) Забезпечує закріплення кожної лекції за одним лектором.
1.6 Доведення тотожня
Основний метод доведення тотожня в алгебрі множини ґрунтується на згаданому Ранее факті: А=В тоді и только тоді, коли А? В і В? А. Доведемо, например, тотожність 3а) А? (В? С)=(А? В)? (А? С).
Доведемо спочатку, что А? (В? С)? (А? В)? (А? С). Для цього візьмемо будь-яке x? А? (В? С), тоді за окреслений операцій? та? маємо x? А або (x? В і x? С). За законом дістрібутівн...
