ості або відносно и (x? А або x? В) і (x? А або x? С), тобто x? А? В і x? А? С. Це рівносільно x? (А? В)? (А? С), что ї треба Було довести.
Доведемо тепер, что (А? В)? (А? С)? А? (В? С). Для цього візьмемо будь-яке x? (А? В)? (А? С). Звідсі (x? А або x? В) і (x? А або x? С). Це рівносільно x? А або (x? В і x? С), тобто x? А? (В? С), что ї нужно Було довести.
Таким чином, А? (В? С)=(А? В)? (А? С).
Із Властивості асоціатівності операции про єднання множини віпліває, что про єднання кількох множини можна віконаті, послідовно про єднуючі їх, причому порядок входження множини НЕ впліває на результат: А? (В? С)=(А? В)? С=А? У? С. Отже, про єднання сукупності множини можна податі співвідношенням:. Аналогічно на n множини узагальнюється операція Перетин:.
Вікорістовуючі узагальнення операцій про єднання та перерізу на n множини, можна Узагальнити такоже Інші співвідношення, например закон де Моргана, Який в узагальненому виде запісується так: і.
Приклад. Показати, що.
розв язання. Доведемо Цю властівість асоціатівності, скоріставшісь діаграмамі Венна:
Як бачим, что ї треба Було довести.
. 7 парадокс Теорії множини
Слово парадокс грецького походження и перекладається українською мовою - несподіваній, дивний. Вжівають це слово у відношенні до вісловлювання (положення, Ідеї), Пожалуйста Суттєво різніться від загальнопрійнятого традіційного уявлення з даного приводу. Вживанию терміна парадокс Стосовно до тихий суперечностей, Які були віявлені різнімі математиками в Теорії множини Г. Кантора, є наївною СПРОБА Зменшити їхнє значення І надаті Їм характером логічніх курйозів, штучних, неприродних конструкцій. Більш точно суть явіща передает назва, антіномії Теорії множини raquo ;, оскількі Термін антіномія є сінонімом терміна суперечність. Альо за традіцією, будемо назіваті сформульовані нижчих положення парадоксами.
Парадокс Б.Рассела. Для будь-якої множини M коректний є питання: чи множини M Належить Собі як окремий елемент, тобто чи є множини M елементом самой собі, чи ні? Например, множини всех множини є множини и того Належить сама Собі, а множини всех будінків у городе НЕ є будинком, множини студентов в аудіторії НЕ є студентом.
Отже коректно поставити сформульоване питання и относительно множини всех множини, Які НЕ БУДУТЬ ВЛАСНА елементами. Нехай M - множини всех тихий множини, что НЕ є елементами самих себе. Розглянемо питання: а сама множини M є елементом самой собі чи ні? Если пріпустіті, что M? M, то з Означення множини M віпліває M? M. Если ж Припустиме, что M? M, то з того ж таки Означення дістанемо M? M.
около до парадоксу Рассела є так звань парадокс цирульника raquo ;: цирульник - це мешканець міста, Який голить тихий и только тихий мешканців міста, Які НЕ Голян Самі собі. Проводячі міркування, аналогічні тім, что були зроблені в парадоксі Рассела, дійдемо висновка, что цирульник голить собі в тому и только в тому випадка, коли цирульник НЕ голить сам собі.
Багат хто з математіків на початку ХХ ст. НЕ надавали ЦІМ парадоксів особливого значення, оскількі в тій годину теорія множини булу відносно новою галуззя математики и не зачіпала інтересів більшості математіків. Однако їхні більш відповідальні та пронікліві колеги зрозумілі, что віявлені парадокси стосують НЕ только Теорії множини и побудованіх на ній розділів класичної математики, но мают безпосереднс відношення до логіки Взагалі, тобто до головного інструменту математики.
Зокрема, парадокс Рассела может буті переформульованій в термінах логіки и таким чином Доданий до відоміх з давніх часів логічніх парадоксів (парадоксу брехуна, парадоксу всемогутньої істоті ТОЩО).
Если проаналізуваті всі парадокси Теорії множини, то можна сделать Висновок, что всі смороду обумовлені НЕОБМЕЖЕНИЙ! застосування так званого принципу абстракції (або принципом згортання), согласно з Яким для будь-якої Властивості P (x) існує відповідна множини елементів x, Які мают властівість P (x). Если відкінуті це припущені, то всі відомі парадокси Теорії множини стають Неможливо.
У усіх існуючіх аксіоматічніх теоріях множини неможлівість антіномій ґрунтується на ограниченной принципом згортання.
2. Основи Теорії відношень
. 1 Декартових добуток
Визначення. Декартових (прямий) добутком множини A и B (запісується A? B) назівається множини всех пар (a, b), в якіх перша компонента Належить множіні A (a? A), а друга - множіні B (b? B).
Тобто A? B={(a, b) | a? A ...
