кцією. Зв'язок між цим коефіцієнтом і гауссовой кривизною поверхні встановлюється відомою формулою.
Якщо гауссова кривизна поверхні постійна і більше нуля, то, як легко бачити, коефіцієнт G, задовольняючи рівнянню, повинен мати вигляд.
Отже, така поверхня локально изометрична сфері радіусу.
Якщо в трикутнику на опуклої поверхні питома кривизна, то його кути не менш (максимум) відповідних кутів трикутника з тими ж сторонами на сфері радіуса.
Якщо в трикутнику на опуклої поверхні питома кривизна, то площа S цього трикутника менше (не більш) площі трикутника з тими ж сторонами на сфері радіуса. Більше того, мають місце оцінки:
,
якщо в трикутнику питома кривизна, і
,
якщо в трикутнику питома кривизна.
Нехай і - дві найкоротші, витікаючі з точки О на опуклої поверхні. Нехай і - змінні точки на і,,, і - кут в трикутнику зі сторонами, протилежні стороні, на сфері радіуса. Кажуть, що метрика поверхні задовольняє умові К-опуклості, або є К-опуклою, якщо для будь-яких найкоротших і кут є незростаюча функція у всякому інтервалі,, в якому існує найкоротша. Кажуть, що метрика задовольняє умові К-угнутості, або є К-увігнутою, якщо є неубивающей функцією по в такому ж інтервалі (рис. 15). Має місце наступна теорема.
Теорема: Якщо на опуклої поверхні питома кривизна, то на цій поверхні виконується умова К-опуклості (К-угнутості).
Точки опуклої поверхні можуть бути трьох родів: конічні де дотичний конус НЕ вироджується і, отже, повний кут менше, ребристі - з дотичним конусом, вироджуються в двогранний кут, і плоскі, де дотичний конус вироджується в площину. Очевидно, на поверхні обмеженою кривизни не може бути конічних точок, так як в таких точках питома кривизна дорівнює нескінченності. Ребристі ж точки можуть бути і на поверхні обмеженою кривизни. Проте має місце наступна теорема.
Теорема: Якщо на опуклої поверхні питома кривизна будь-який досить малої області, що містить точку А, не перевищує якогось постійного числа, то точка А небудь гладка, або через неї проходить прямолінійне ребро поверхні.
Звідси як наслідок виходить, що замкнута опукла поверхня обмеженою кривизни гладка. Нескінченна повна опукла поверхня обмеженою кривизни, в будь-якій кінцевій частині не є циліндром, гладка.
Якщо через точку А опуклої поверхні проходить прямолінійний відрізок, то на поверхні є як завгодно малі області, містять точку А і мають як завгодно малу питому кривизну.
Отже, якщо питома кривизна опуклої поверхні укладена в позитивних межах для всіх областей на поверхні, то така поверхня гладка.
. 4 Неізгібаемость сфери
Досить малий шматок поверхні завжди може бути підданий зміни його форми, сохраняющему довжини. Не так йде справа для поверхні в цілому. Вже Міндінг в 1838 р виставив в якості здогади пропозицію, що поверхня сфери в цілому володіє жорсткістю. Але лише в 1899 р Лібман обгрунтував це твердження. Так як згідно теоремі Гаусса при ізометричних відображеннях міра кривизни залишається незмінною, то теорема Лібмана може бути сформульована таким чином: сфера є єдиною замкнутою поверхнею, що має постійну кривизну.
Якщо не вводити обмежуючих вимог правильності, то твердження це свідомо невірно. Справді, якщо ми відсічемо від сфери її сегмент і замінимо це сегмент дзеркальним його відображенням відносно площини перетину, то ми отримаємо пом'яту сферу, яка, хоч і володіє постійною мірою кривизни, але має ребро. Будемо надалі припускати, що маємо справу з аналітичними поверхнями, правильними всюди.
Якщо за параметричні лінії поверхні ми приймемо її лінії кривизни, то з формул для головних кривизн
поклавши в них спершу, а потім, ми отримаємо:
. (1)
Для зворотних величин матимемо:
. (2)
За допомогою формул Кодацці виду
і формул (2) ми отримаємо, (3)
звідси
. (4)
При доведенні теореми Лібмана ми можемо припускати, що. Справді, випадок виключається, тому що ці поверхні мають прямолінійні утворюючі і, отже, є свідомо незамкнутими поверхнями. Точно так само не може існувати замкнутої поверхні, кривизна якої усюди негативна:. Дійсно, в найвищій точці такій поверхні міра кривизни повинна бути позитивна:. Таким чином, залишається розглянути лише випадок, а в цьому випадку перетворенням подібності завжди можна зробити...
