ь пружності.
Якщо тіло піддається деформації? 0 і потім утримується в цьому стані, то?=0 і рівняння (2) буде мати вигляд:
?/М +?/?=0 (3)
Рішення цього рівняння:
? =? () Exp (-M /? * T). (4)
Таким чином, ослаблення (релаксація) напруги в тілі з часом носить експонентний характер і виражається часом релаксації:
? =?/М.
При накладенні напружень в деякий момент t1 пружина миттєво розтягується на величину?/М, а поршень починає переміщатися зі швидкістю? /?. При знятті напруги в момент t 2 пружина миттєво скорочується, а поршень залишається у висунутому стані. Якщо до цього тіла прикласти періодично мінливий напруга? (t) =? 0 exp (i? T), то буде спостерігатися розсіювання енергії коливань. Підставляючи? (t) в рівняння (2) і інтегруючи його, знайдемо
? =I *? , Де (5)
? *=1/i ?? + 1/М -
зворотна величина комплексного модуля М * або податливість. З рівняння (5) випливає:
M *=i ??/l + i ?? , Де (6)
i-число періоду;
? - частота;
? - час релаксації.
Внутрішнє тертя визначиться за формулою:
Q? ? =1/?? =M/?? (7)
Динамічний модуль
М? =М ???/1 + ??? 2 (8)
Відомо, що коефіцієнт в'язкості однорідних ізотропних тіл з підвищенням температури швидко зменшується. Значить внутрішнє тертя тіла Максвела, згідно рівняння (7), буде постійно зростати в міру збільшення температури. Тому модель Максвелла можна використовувати для наближеного опису високотемпературного фону внутрішнього тертя.
У моделі Зінера передбачається, що середа являє собою суміш двох фаз: одна має максвелловскую природу, інша - чисто пружну. Диференціальне рівняння, відповідне моделі Зінера, має вигляд:
? +?/M 2? =M1? +? ?. (9)
Якщо? =0, то рівняння (9) має вигляд:? +?/M 2? =M1? 0 і наступне рішення:
? (t)=M1? 0 + (? 0 -М 0? 0) exp (-t /??), Де (10)
? ? =?/М 2 -время релаксації напруги за умови постійної деформації.
Якщо?=0, то рівняння (9) має рішення виду:
? (t)=M1? 0 + (? 0 -???? 0) ехр (-t /??), Де (11)
? ? =?/М 1 час ретардації (запізнювання).
Вводячи нові постійні? ?:І? ? в рівняння (9), отримуємо
? +? ? ? =M1 (? + ???). (12)
Підставивши в рівняння (12) періодично мінливі? і? , Отримаємо? =М *? , Де комплексний модуль
М *=(1 + i? ??/1 + i???) М1. (13)
комплексний модуль
Внутрішнє тертя і динамічний модуль можна знайти по рівняннях:
Q? 1 =? (?? -??)/1 +? 2 ?? ? ? (14), M g=M1 1+? 2 ?? ? ?/1 +? 2? 2 (15)
внутрішнє тертя метал окислювач
динамічний модуль
Вираз (14) має сенс тільки в тому випадку, якщо ??-? ? gt; 0. Для реальних тіл це можливо.
Рівняння (14) і (15) можна перетворити до вигляду:
Q? ? =(M 2 -M1/M) (?? / 1 +? 2? 2); (16)
M g=M 2 - (M 2 -M)/(1+? 2? 2). (17)
У цих формулах М1 і М 2 можна замінити
М 2=М Н і М1=М Р,
де Мн і М р - нерелаксівірованний і релаксівірованний модуль відповідно.
Множник? М=(М 2 -М1)/Мвуравненіі (16) визначає ступінь релаксації модуля, яку називають ще дефектом модуля. m =? m1m 2-середній геометричний модуль; ? =? ?? ? ?- Середнє геометричне час релаксації. Внутрішнє тертя, обумовлене формулою (16), приймає максимальне значення Q Max 1=1/2? М, при ??=1, тобто тоді, коли частота коливань? дорівнює зворотній величині часу релаксації?. Оскільки внутрішнє тертя Q? 1 залежить від частоти і часу релаксації через твір ?? , Можна залишити незмінною?, А міняти? зміною температури. Такий шлях дуже зручний, особливо якщо врахувати, що для більшості процесів, що відбуваються в металах, час релаксації змінюється по рівнянню Ареніуса:
? =? 0 е? H/RT, де (18)
? 0 -время релаксації при ОК...
