тку чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах.
.
Це випливає з того, що площа паралелограма дорівнює добутку довжин суміжних сторін на синус кута між ними.
Зауважимо, що
Таким чином, довжину вектора векторного твори можна обчислити за допомогою скалярного добутку за формулою
. (2.7)
Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах
.
За формулою (2.7):
Зауваження 2. Напрям вектора можна також (крім п.2) визначити за правилом гвинта: напрямок вектора збігається з напрямком поступального руху гвинта в правій різьбленням при обертанні його в бік повороту першого вектора до другого вектору по найкоротшому шляху (рис. 19).
Властивості векторного добутку.
1.
..
- властивість лінійності векторного твори по першого співмножники (без доведення).
Векторний добуток також лінійно і по другому співмножником.
Використовуючи визначення і властивості 1 і 2, складемо таблицю обчислення векторного добутку базисних векторів: вектори, що стоять у лівій колонці, множаться на відповідні вектори верхнього рядка (рис. 20).
Нехай в деякій ПДСК. Знайдемо векторний добуток цих векторів:
Зауважимо, що цей вираз можна отримати, обчисливши символічний визначник (зробити це можна по-різному, але краще розкласти по першому рядку):
.
Таким чином,
. (2.8)
Приклад. Обчислити векторний добуток векторів
За формулою (2.8):
Зауважимо, що площа трикутника, побудованого на векторах і, можна обчислити двома способами: як половину довжини знайденого вектора або використовуючи формулу (2.7). Зауважимо, що.
Приклад. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і, якщо
Так як, то обчислимо векторний добуток, використовуючи його властивості:.
Звідси
Змішане твір векторів
Визначення. Змішаним твором векторів називається число - скалярний добуток на векторний добуток.
Змішане твір позначається так:
Нехай в деякій ПДСК
Позначимо
Таким чином,
(2.9)
За визначенням скалярного твори
Сумісний початку всіх трьох векторів в одній точці. Тоді (рис. 21)
- площа паралелограма,
- висота паралелепіпеда,
- обсяг паралелепіпеда.
Геометричний зміст змішаного твори: модуль змішаного твори чисельно дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножник, при цьому, якщо - права трійка, і, якщо - ліва трійка.
.
Властивості змішаного твори
. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів є рівність нулю їх змішаного твори: компланарні
. Кругова перестановка співмножників в змішаному творі не змінює його величини. Перестановка сусідніх співмножників змінює його знак, не змінюючи абсолютної величини:
3. У змішаному творі векторне і скалярне твори можна міняти місцями:
. Змішане твір лінійно по кожному з трьох співмножників.
- лінійність по першого співмножники.
Приклад. Знайти об'єм тетраедра, побудованого на векторах, і його висоту, перпендикулярну площині векторів і.
Обсяг тетраедра в 6 разів менше обсягу паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, тому
.
Звідси (зауважимо, що - ліва трійка, так як мішаний добуток негативно).
Щоб знайти висоту, скористаємося формулою
За формулою (2.7)
3. Демонстраційний варіант контрольної роботи
Завдання №1. Дано координати вершин піраміди А 1 А 2 А 3 А 4: А 1 (1; 2; 1), А 2 (3; - 1; 7), А 3 (2...
