; 0; 2), А 4 (7; 4 ; - 2) .. Потрібно знайти: 1) довжину ребра А 1 А 2; 2) кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4; 3) кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3; 4) площа грані А 1 А 2 А 3; 5) обсяг піраміди.
Рішення:
. Знаходимо координати вектора і довжину ребра
. Кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4 обчислюється за формулою
зі скалярного твори.
=
Тому:
3. Кут між ребром А 1 А 4 і площиною А 1 А 2 А 3 - це кут між вектором і його ортогональною проекцією А 1 А 4 `на грань А 1 А 2 А 3.
Вектор перпендикулярний грані А 1 А 2 А 3, що випливає з визначення векторного добутку векторів:
(Тут. Як і в попередньому пункті, знаходимо
4. Площа грані А 1 А 2 А 3 знаходимо, використовуючи сенс векторного твори:
5.Об'ем піраміди А1А2А3А4 чисельно дорівнює одній шостій модуля змішаного добутку векторів.
Завдання №2.
У кубі АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі стороною a точка К є серединою сторони підстави В 1 С 1, точка L ділить іншу сторону C 1 D 1 цього підстави у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини С 1, точка N є серединою бічного ребра АА 1. Знайдіть площу перерізу, який струменіє через точки K, L, N.
Рішення:
Побудуємо перетин куба через точки K, L, N.
(A 1 B 1 C 1) KL A 1 D 1=Q, (AA 1 D 1) NQ DD 1=T, (BB1C) KG TN, NTLKG - шукане розтин. Площа перетину обчислимо, використовуючи формулу кут між нормальними векторами площині підстави куба і площини перетину. Площа проекції перетину куба на площину ABC можна обчислити як В декартовій системі координат з центром у вершині куба A координати вершин мають вигляд: K Звідси. Нормальний вектор перетину можна прийняти пропорційним (колінеарним) векторному добутку.
=(- 4; - 3; 10).
Нормальний вектор площини підстави Тоді
і
Відповідь:
Завдання №3.
Дано координати вершин паралелепіпеда: A (1; 2; 3), B (0; 1; 2), C (1; 1; 3), D (0; 0; 3). Знайти об'єм паралелепіпеда, його висоту, опущену з вершини С, кут між вектором AD і гранню, в якій лежать вектори АВ і АС.
Рішення: За визначенням, обсяг паралелепіпеда дорівнює змішаного добутку векторів, на яких він побудований. Знайдемо ці вектори:
.
Обсяг цього паралелепіпеда
.
З іншого боку, обсяг паралелепіпеда, - це площа паралелограма:
.
,
тоді висота.
Кут між вектором і гранню знайдемо за формулою
.
Так як вектор перпендикулярний грані, в якій лежать вектори. Кут між цим вектором і вектором знаходимо за відомою формулою
.
Очевидно, що шуканий кут.
Отже:
.
Завдання №4.
Перевірити, чи лежать в одній площині точки,. Знайти лінійну залежність вектора, якщо це можливо.
Рішення: Знайдемо три вектори:
.
.
Три вектора лежать в одній площині, якщо вони компланарні, т. е. їх мішаний добуток дорівнює нулю:. Отже, ці три вектори лінійно залежні. Знайдемо лінійну залежність від
.
.
Вирішуючи цю систему, отримаємо відповідь:
, тобто.
Завдання 5.
У паралелепіпеді АВСDЕ 1 В 1 С 1 D 1 точка М? - середина діагоналі А 1 С 1 грані A 1 B 1 C 1 D 1, точка K? - середина ребра ВВ 1. Доведіть, що прямі А 1 В 1, KМ і НД 1 паралельні деякій площині.
Рішення:
Введемо вектори:
Трійку некомпланарних векторів приймемо як базису. Розкладемо вектори за векторами цього базису.
Маємо:
Тоді
Це означає, що вектори компланарні, отже, вони паралельні деякій площині, тоді цій площині паралельні і прямі А ...
