є М/=.
Клас вміщує елементи, для якіх обідві ознакой и не віконуються. Проілюструємо Цю класіфікацію діаграмою.
На діаграмі цифрою (1) позначено клас, цифрою (2) - клас, цифрою (3) - клас, цифрою (4) - клас. Розбіття за двома ознакой Зручне Виконувати так: спочатку віконаті розбіття множини на класи за Першів Ознакою, а потім КОЖЕН з одержаних класів Розбита за другою ознакою.
Покажемо цею способ, віконуючі розбіття множини натуральних чисел за подільністю на 2, а потім за подільністю на 3.
У сімволічній форме КОЖЕН з класів запишеться так:
={х є N/х 2 х 3},
={х є N/х 2},
={х є N/х 3},
={х є N /},
Класіфікації широко Використовують НЕ лишь в математиці, а й в других науках, зокрема в біології, хімії и ін.
Так, например, ще в 1735 р. Карл Лінней опублікував працю" Система
природи" , в Якій наведено класіфікацію Рослін и тваринного світу (на тіпі, класи, роди, види ТОЩО).
2.10 Означення різниці двох множини
Різніцею двох множини А та В назівають множини, яка складається з тихий елементів множини А, Які має належати множіні В. Цю множини позначають символом А В. Отже, А В={х/х є А х В}.
Аналогічно В А={х/х є В х А}.
Наприклад:
А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, А В={1, 2, 3},
В={4, 5, 6, 7, 8, 9,}, В А={8, 9,}.
Очевидно, что А В В А.
Зображення різниці двох множини з помощью кругів Ейлера
1. Если множини А та В мают деякі Спільні елементи, тобто А В, то Різниця множини А та В ілюструється такою діаграмою:
А В={х/х є А х В}.
2. Если множини А та В не мают спільніх елементів, тобто
А В =, то А В=А; В А=В.
Если множини В є підмножіною множини А (В А), то різніцю А В назівають ДОПОВНЕННЯ множини В до множини А і позначають, тобто А В=і зображають так:
Область, заштрихована на діаграмі, відповідає множіні А В, або.
4. Если розглядається Різниця універсальної множини u и довільної ее підмножіні А, тобто u А, то ее назівають ДОПОВНЕННЯ до універсальної и позначають. ={Х/х А}.
2.11 Доповнення до об єднання и перерізу множини
Доведемо, что ДОПОВНЕННЯ до перерізу двох множини дорівнює про єднанню ДОПОВНЕННЯ ціх множини, тобто =.
За зазначену ДОПОВНЕННЯ маємо:={х/х (А В)}, но х (А В)
тоді, коли х А або х В.
Last означає, что если х є або х є, то за окреслений операции про єднання виходим, что х є.
Отже, {х/х А В}={х/х є},
або ж=(1).
Аналогічно можна довести й том, что ДОПОВНЕННЯ до об єднання двох множини дорівнює перерізу ДОПОВНЕННЯ до ціх множини, або
=(2).
Рівності (1) і (2) назівають правилами де Моргана (по имени шотландського математика и логіка Августуса де Моргана (1806 - 1871), Який Вперше сформулювано їх на мові логіки вісловлень).
ЦІ закони можна довести і З помощью діаграм Ейлера - Венна,
проілюструвавші окремо ліву и праву части рівності.
Проілюструємо Рівність (2). =.
2.12 числові множини
Елементами множини могут буті предмети довільної природи. У математиці розглядаються найчастіше множини, елементами якіх є математичні про єкти (числа, точки, Рівняння, Функції и т.п.).
множини, елементами якіх є числа, назіваються числові множини.
У математиці Прийнято певні числові множини позначаті так:
N - множини натуральних чисел,
Z - множини ціліх чисел,
Q - множини раціональних чисел,
R - множини всех дійсніх чисел.
Співвідношення между ними зображається діаграмою Ейлера - Венна.
Z Q R
Розділ ІІІ. Система задач для Вивчення множини и відношень в сучасній школі
Розглянемо запитання та Усні вліво Для засвоєння Поняття множини:
