ористовуються як метод кінцевих різниць, так і метод контрольних обсягів [12].
4.2.1 Метод кінцевих різниць
На малюнку 4.1 зображено розбиття одновимірної розрахункової області на вузлові точки.
Звичайно-різницевий метод заснований на заміні похідних диференціального рівняння фізичного процесу в точці на кінцеві різниці. Похідні аппроксимируются розкладанням до лав Тейлора. Для апроксимації похідної в точці 2 розкладемо досліджувану змінну? в ряд Тейлора в точках 1 і 3
Нехтуючи залишковим членом Rn (x) обох рядів, віднімаючи і складаючи рівняння, отримаємо:
Замінюючи похідні у вихідному диференціальному рівнянні відповідно до (2.6), отримуємо різницевий аналог, записується у вигляді системи алгебраїчних рівнянь.
Даний метод не враховує фізичної картини процесу, а наявність залишкового члена в ряді Тейлора і припущення про поліноміальному характері зміни залежної змінної, призводить до небажаних наслідків, наприклад, для випадку експоненціального зміни змінної. Цим методом вирішується значна кількість практичних завдань газової динаміки і дифузії (теплообміну), проте в ряді випадків звичайно-різницевий метод не підходить для вирішення рівнянь математичної фізики. Так, для вирішення диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами в кінцево-різницевої методі застосовують схему зі штучною в'язкістю, метод характеристик і дівергентние схеми. Зазначені різновиди кінцево-різницевого методу застосовуються для задач гідро- і газодинаміки [2].
4.2.2 Метод сіток
Диференціальні рівняння виду вирішуються перетворенням їх у алгебраїчні рівняння, звані дискретними аналогами. Ці рівняння містять в якості невідомих значення? у вибраних дискретних місцеположеннях, які утворюють сітку і називаються розрахунковими точками. Навколо кожної розрахункової точки будується контрольний обсяг, і дискретні аналоги виходять інтегруванням рівняння за таким контрольним обсягами.
Основна ідея методу контрольного об'єму легка і зрозуміла і піддається прямої фізичної інтерпретації. Розрахункову область розбивають на деяке число контрольних обсягів, грані яких показані штриховими лініями. Після в геометричний центр кожного контрольного обсягу поміщається вузлова точка.
Видно, що деяка розрахункова точка «повідомляється» з чотирма сусідніми через чотири грані контрольного об'єму. Одна з граней прикордонного контрольного об'єму збігається з межею розрахункової області, а гранична точка поміщена в центр грані контрольного об'єму.
Зручно представляти контрольний обсяг нульової товщини для граничної точки.
Межі контрольних обсягів повинні розташовуватися так щоб, вони збігалися з розривами у властивостях матеріалу, джерельних членах, граничних умовах та ін.
Існує велика кількість геометричних величин, які мають відношення не до розрахункових точкам, а до граней контрольних об'ємів. Грань з номером i лежить між точками i - 1 і i. Іншими словами, грань має той же номер, що і найближча до неї точка в позитивному напрямку осі координат, тобто в напрямку збільшення i або j. Приватним наслідком такої побудови контрольних обсягів і використовуваної нумерації є те, що грань I=2 і точка I=1 збігаються з лівого кордоном розрахункової області.
Межі контрольних обсягів повинні розташовуватися так щоб, вони збігалися з розривами у властивостях матеріалу, джерельних членах, граничних умовах та ін.
Відповідно до розташування розрахункових точок (рисунок 4.2) у напрямку осей параметри? і у визначаються ин?? ексамі I і J. Індекс I збільшується уздовж осі?, а індекс J - уздовж осі у. Значення I=1 задає сіткову лінію на лівій межі, в той час як I=L1 вказує на праву межу. Аналогічно J=1 і M1 відповідають нижньої і верхньої кордонів. Насправді у багатьох місцях в програмі ліва і нижня межа області називаються границями I1 і J1 відповідно, а права і верхня - межами L1 і M1. Логічність такого позначення очевидна. Для зручності введені деякі додаткові змінні, які визначаються так:
Таким чином, сіткові лінії I=2 і L2 є першими внутрішніми лініями сітки поблизу відповідних кордонів, а лінії I=3 і L3 - другими внутрішніми лініями. Подібними властивостями володіють лінії J=M2 і МЗ. Таким чином, в діапазонах I=2, L2 і J=2, М2 задаються всі внутрішні розрахункові точки. Залежна змінна, наприклад температура, в розрахунковій точці [I, J] буде позначатися як Т [I, J]. Граничні значення Т позначені як Т [1, J], Т [L1, J], Т [I, 1] і Т [I, M1].
Програма розроблена для полярної системи координат?- Поздовжня координата, y, r - координати в радіальному напрямку. Різниця між ними полягає ...
