n | x 0 - x * | (2.8)
Оцінка (2.8) є апріорної. Вона показує, що метод простої ітерації сходиться зі швидкістю геометричної прогресії з знаменником q . Чим менше q, тим вище швидкість збіжності.
Як випливає з теореми 2.2, умова (2.7) є достатнім для збіжності методу простих ітерацій. Його виконання гарантує збіжність процесу (2.5), але невиконання умови (2.7), взагалі кажучи, не означає, що ітераційний процес буде розходитися.
На рис. 2.3 - 2.6 показані чотири випадки взаємного розташування ліній y = x і y = j ( x ) і відповідні ітераційні процеси.
Рис. 2.3 і 2.4 відповідають випадку | j ' (x) | <1, і ітераційний процес сходиться. При цьому, якщо j ' ( x ) > 0 (рис. 2.3), збіжність носить односторонній характер, а якщо j ' ( x ) <0 (рис. 2.4), збіжність носить двосторонній, коливальний характер. Рис. 2.5 і 2.6 відповідають випадку | j ' ( x ) |> 1 - ітераційний процес розходиться. При цьому може бути одностороння (рис. 2.5) і двостороння (рис 2.6) расходимость. <В В
Рис. 2.3 Рис. 2.4 Рис. 2.5
В
Рис. 2.6
В
Похибка методу. Якщо відома величина q в умові (2.7), то застосовна наступна апостериорная оцінка похибки:
| x n - X * | ВЈ | x n - x n - 1 |, n> 1 . (2.9)
Критерій закінчення . З оцінки (2.9) випливає наступний критерій закінчення ітераційного процесу. Обчислення слід продовжувати до виконання нерівності
| x n - X n - 1 | < e .
Якщо це умова виконана, то можна вважати, що x n є наближенням до x * з точністю e .
Якщо q ВЈ 0.5, то можна користуватися більш простим критерієм закінчення:
| x n - X n - 1 | < e . (2.10)
Приклад 2.2.
Використовуємо метод простої ітерації для вирішення рівняння f ( x ) = sin x - x 2 = 0 з точністю e = 0.001. p> Перетворимо рівняння до виду (2.4):
В
x =, т. е. j ( x ) =.
Неважко переконатися, що корінь рівняння знаходиться на відрізку [ p /6, p / 3]. Наприклад, обчисливши значення f ( x ) на кінцях відрізка, отримаємо: f ( p / 6 ) > 0, а f ( p /3) < 0, тобто функція на кінцях відрізка має різні знаки, що відповідно до теореми 2.1 вказує на те, що всередині відрізка є корінь. Розміщення кореня наочно ілюструє рис.2.7.
В
Рис. 2.7
Підрахуємо, першу і другу похідні функції j ( x ):
В
j '( x ) =, j "( x ) =.
Так як j "( x ) > 0 на відрізку [ p /6, p / 3], то похідна j ' ( x ) монотонно зростає на цьому відрізку і приймає максимальне значення на правому кінці відрізка, тобто в точці p / 3 . Тому, справедлива оцінка:
| j '( x ) | ВЈ | j ' ( p / 3) | В»0.312.
Таким чином, умова (2.7) виконано, q < 0.5, і можна скористатися критерієм закінчення обчислень у вигляді (2.10). У табл. 2.2 наведені наближення, отримані за розрахунковою формулою (2.5). В якості початкового наближення вибрано значення x 0 = 1.
Таблиця 2.2
n
x n
0
1
2
3
4
5
1
0.8415
0.8861
0.8742
0.8774
0.8765
Критерій закінчення виконується при n = 5, | x 5 - x 4 | <0.001 . Збіжність двостороння, якісний характер такої збіжності представлений на рис. 2.4. Наближене значення кореня з необхідною точністю x * 0.8765. p> 2.5 Метод Ньютона (метод дотичних)
Метод Ньютона є найбільш ефективним методом вирішення нелінійних рівнянь. p> Нехай корінь x * ГЋ [ a , b ], так, що f ( a ) f ( b ) <0. Припускаємо, що функція f ( x ) неперервна на відрізку [<...
