i> a , b ] і двічі безперервно дифференцируема на інтервалі ( a , b ). Покладемо x 0 = b. Проведемо дотичну до графіка функції y = f ( x ) в точці B 0 = ( x 0 , f ( x 0 )) (рис. 2.8).
В
Рис. 2.8
Рівняння дотичній буде мати вигляд:
y - f ( x 0 ) = f '( x 0 ) ( x - x 0 ). (2.11)
Перше перетин отримаємо, взявши абсциссу точки перетину цієї дотичної з віссю OX , тобто поклавши в (2.11) y = 0, x = x 1 :
x 1 = x 0 -. (2.12)
Аналогічно поступимо з точкою B 1 ( x 1 , f ( x 1 )) , потім з точкою B 2 ( x 2 , f ( x 2 )), і т. д. в результаті отримаємо послідовність наближень x 1 , x 2 , ..., x n , ..., причому
x n +1 = x n -. (2.13)
Формула (2.13) є розрахунковою формулою методу Ньютона . p> Метод Ньютона можна розглядати як окремий випадок методу простих ітерацій, для якого
j ( x ) = X - . (2.14)
В
Збіжність методу . Збіжність методу Ньютона встановлює наступна теорема. p> Теорема 2.3. Нехай x * - простий корінь рівняння f ( x ) = 0, і в деякій околиці цього кореня функція f двічі безперервно дифференцируема. Тоді знайдеться така мала s -околиця кореня x * , що при довільному виборі початкового наближення x 0 з цієї околиці итерационная послідовність, визначена за формулою (2.13) не виходить за межі цієї околиці і справедлива оцінка:
| x n + 1 - x * | ВЈ C | x n - x * | 2 , n 0, (2.15)
де С = s - 1 . Оцінка (2.15) означає, що метод сходиться з квадратичної швидкістю. p> Збіжність методу Ньютона залежить від того, наскільки близько до кореня вибрано початкове наближення. Невдалий вибір початкового наближення може дати розходиться послідовність. Корисно мати на увазі наступне достатня умова збіжності методу. Нехай [ a, b ] - відрізок, що містить корінь. Якщо в якості початкового наближення x 0 вибрати той з кінців відрізка, для якого
В
f ( x ) f " ( x ) Ві 0 , (2.16)
то ітерації (2.13) сходяться, причому монотонно. Рис. 2.8 відповідає випадку, коли в якості початкового наближення був обраний правий кінець відрізка: x 0 = B.
Похибка методу. Оцінка (2.15) є апріорної та незручна для практичного використання. На практиці зручно користуватися наступною апостеріорної оцінкою похибки:
В
| x n - X * | ВЈ | x n - x n - 1 | . (2.17)
В
Критерій закінчення. Оцінка (2.17) дозволяє сформулювати наступний критерій закінчення ітерацій методу Ньютона. При заданій точності e > 0 обчислення потрібно вести доти, поки не буде виконано нерівність
| x n - X n - 1 | < e . (2.18)
Приклад 2.3.
Застосуємо метод Ньютона для обчислення. де a > 0, p - Натуральне число. Обчислення еквівалентно рішенням рівняння x p = a. Таким чином, потрібно знайти корінь рівняння f ( x ) = 0, f ( x ) = x p - a, f ' ( x ) = px p - 1 . Ітераційна формула методу (2.13) прийме вигляд:
x n +1 = x n - = x n +. (2.19)
Використовуючи формулу (2.19), знайдемо з точністю e = 10 -3 .
В
x n +1 = x n +. br/>
Простий корінь рівняння x 3 - 7 = 0 розташований на відрізку [1, 2]. Дійсно, на кінцях відрізка [1, 2] функція f ( x ) = x 3 - 7 приймає різні знаки, f (1) <0, f (2)> 0. Крім того, при x = 2 виконано достатня умова збіжності (2.16): f (2) <...
