ймовірності НЕ вімагає, щоб випробування насправді віконувалісь: Означення відносної частоти вімагає, щоб випробування були Фактично віконані. Іншімі словами, класичну ймовірність обчислюють до досліду, а відносну частоту - после досліду.
прото класична ймовірність має обмеженності! застосування, оскількі далеко не всегда в реальному розумів можна віділіті рівноможліві випадка у скінченній кількості.
Если підкідаті несіметрічну монету (Із зміщенням від геометричного центру ваги), то відносні частоти появи "герба" ​​так саме мают властівість групуватіся вокруг Певного числа р при збільшенні кількості випробувань. Прото число р нам невідоме, бо монети не є симетричним и для кожної монети воно буде своим.
Прийнято вважаті це невідоме число р Статистичною ймовірністю появи "герба" ​​при підкіданні несіметрічної монети.
Означення. Ймовірністю події А назівається невідоме число р, вокруг Якого зосереджується Значення відносної частоти події А при зростанні числа випробувань.
Щойно наведення Означення ймовірності назівають Статистичнй. Отже,
Р п (А) ≈ Р (А) = р, (2)
де Р (А) - ймовірність події А; Р п (А) - відносна частота; п-кількість випробувань.
Набліжена Рівність (2), яка віражає властівість стійкості відносніх частот, є однією з найважлівішіх закономірностей масів Випадкове подій.
Приклад. Із 1000 довільно вибраних деталей пріблізно 3 браковані. Скільки бракованих деталей пріблізно буде среди 2100 деталей? p> Позначімо через А подію, коли навмання взята деталь бракована. Тоді відносна частота
В
Если среди 2100 деталей виявило х бракування, то ймовірність події А
В
Оскількі Р п (А) ≈ Р (А), то, Звідки х = 6.
В§ 5. Зв'язок Теорії ймовірностей з теорією множини
множини всех можливіть НАСЛІДКІВ випробування назівають Основним простором або простором елементарних подій (НАСЛІДКІВ) i позначають Q. Наслідок позначають зі. p> Випадкове подією (наслідком) назівається будь-яка підмножінаЛ простору Q, тоб будь-яка множини НАСЛІДКІВ. Наслідки, Які утворюють подію А, назівають сприятливі для А (соє А). Подія А настає тоді и Тільки тоді, коли настає Елементарна Подія (наслідок), сприятливі для А.
Тому теорія ймовірностей и теорія множини мают багатая Спільного. Втім, у них йдет про Одне ї ті самє різнімі словами, что видно з Такої табліці:
В
Приклад. Підкідають два гральних кубики. Подія А - сума очок, Які з'явились, дорівнює 10; Подія В - прінаймні один раз появится шістка. Опішіть простір елементарних подій та події AU В і А ∩ В.
Простір елементарних подій, або множини можливіть НАСЛІДКІВ випробування, можна записатися як набор усіх можливіть впорядкованим пар чисел від 1 до 6 (шкірно Із шести граней Першого кубика можна розглядаті у Парі з будь-Якою грані один кубика). Отже,
О© = {(1; 1), (1, 2), ... (1, 6), (2; 1), ..., (6, 5), (6; 6)}. p> Всього за правилом добутку маємо 6 • 6 = 36 ЕЛЕМЕНТІВ.
Подію А задаємо переліком ЕЛЕМЕНТІВ, Які ее складають:
А = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}.
Аналогічно
В = {(6; 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2 ; 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}. p> Об'єднання AU В - Подія, яка Полягає в тому, что Відбудеться хочай б одна з подій А або В. Тому AU У означає, что або сума очок на гранях, Які Віпа, дорівнює 10, або прінаймні один раз появится шістка.
Оскількі елєменти (4, 6) і (6, 4) входять одночасно Ідо А, Ідо В, то
A U B = ((5, 5)} U B.
Подія А ∩ В Складається з двох ЕЛЕМЕНТІВ, Які входять и до А, и до В:
A ∩ B = {(4, 6), (6, 4)}.
В§ 6. Геометричні ймовірності
Класичне Означення ймовірності грунтується на тому, что випробування має скінченну кількість НАСЛІДКІВ. Прото є досліді, Які мают нескінченну кількість НАСЛІДКІВ.
Наприклад, нехай на площіні містіться область О©. и в ній містіться Інша область А (рис. 300). br/>В
Припустиме, что в область О© навмання кидають точку. Як візначіті ймовірність того, что кинута точка попал до области А? Природно вважаті, что ймовірність попадання точки до области А пропорційна площі цієї области и НЕ поклади від размещения та форма цієї области.
Підмножіні области О©, Які мают площу, назіватімемо в такому разі Випадкове подіямі. Если А - випадкове Подія, то вважатімемо, что
(1)
де S (A) - площа A, S (О©.)-площа О©.
Ймовірності, что подаються як відношення площ областей (довжина відрізків, об'ємів тіл), назівають ще геометричність ймовірностямі.
Приклад 1. Знайте ймовірність того, что навмання взята точка з кола радіуса R належатіме квадрату, вписаного в коло, Яке обмежує коло (рис. 301).
В
За зазначену геометрічної ймовірності маємо
...
