В
де S 1 - площа квадрата AВCD; S - площа кола радіуса R.
Оскількі АВ 2 = 2R 2 , то S 1 = 2R 2 . Тому
В
На перший погляд здається, что геометричні ймовірності є мало корисностям для! застосування. Прото це не так. Багатая завдань, среди якіх и Ті, що вісуваються практикою, врешті-решт зводяться до відшукання ймовірності попадання точки в Деяк область.
Приклад 2 (завдання Бюффона). Нехай на площіні проведено Паралельні Прямі так, что відстань между сусіднімі Прямим дорівнює 2а. На площинах навмання кидають голка завдовжкі 2l, l <а. Яка ймовірність того, что голка перетне якусь Із ціх прямих?
Положення голки однозначно візначається завбільшки кута де та відстанню від середина голки до найбліжчої прямої (рис. 302). Отже, можна взяти за простір О© Елементарна НАСЛІДКІВ прямокутник, 0 <у <а. Оскількі з О”ACBD = ВС = ABsinx = lsinx, то голка перетне пряму Тільки тоді, коли у
(2)
Точки, координат та якіх задів ольняють нерівності (2), утворюють фігуру, заштріховану на рис. 303. Згідно з рівністю (1) площа цієї фігурі, поділена на площу прямокутник, и буде дорівнюваті шуканій імовірності. Площа прямокутник. Площа заштріхованої фігурі
В
В
Формула (3) є корисностей при розв'язуванні багатьох задач. Зокрема, користуючися цією формулою, можна набліжено обчісліті число п. Справді, з формули (3) маємо
В
Нехай голка кинуто п разів и т разів вона перетнула пряму. При й достатньо великих п віднось Тому при й достатньо великих п відносна частота як завгодно мало відрізняється від імовірності Р (А). Тому
В
Во время проведення випробувань голка Було кинуто 5000 разів, Причому найближче пряму вона перетнула 2532 рази. Довжина голки булу 36 мм, відстань между паралельні прямі 45 мм. Отже,
В
В
В§ 7. Теорема про додавання ймовірностей несумісніх подій
Розглянемо спочатку приклад.
Припустиме, что в урні містяться 5 білих, 3 чорних, 2 червоних і 7 синіх куль. Знайдемо ймовірність того, Що з урні вийнять кулю білого або чорного кольору.
Нехай Подія А - з'явилися білої Кулі, В - з'явиться чорної Кулі, С = AU В-з'явиться білої або чорної Кулі. Оскількі події З спріяють 8 НАСЛІДКІВ, а число усіх куль в урні дорівнює 17, то Р (С) = Р (А U В) = 8/17. p> Цю ж імовірність можна найти інакше: Р (А) = 5/17, Р (В) = 3/17, отже, Р {А) + Р (В) = 8/17. Таким чином, Р (А UB) = Р (А) + Р (В). p> Теорема 1. Если події А і В несумісні (А ∩ В = 0), то
Р (А U В) = Р (А) + Р {В). (1)
Нехай Із числа п усіх Рівно можливіть НАСЛІДКІВ m 1 результатів є сприятливі для події А, а т 2 - для події В. Оскількі події А і В несумісні, то з'явиться події А віключає з'явиться події В і навпаки, того число випробувань, сприятливі для події AU В, дорівнює m 1 + т 2 . Звідсі на Основі Класичного Означення ймовірності дістаємо
В
что ї треба Було довести.
Наслідок 1. Если події А 1 , А 2 , ..., А n попарно несумісні (тоб A i ∩ A j = 0 при i в‰ j, i, j = 1, 2, ..., п), то
В
Формула (2) є узагальнення формули (1).
Наслідок 2. Ймовірність протілежної до А події А дорівнює
В
Справді, оскількі AU А = О©, (О© - простір елементарних подій) i P (О©) = 1, то за теоремою 1 маємо
В
Звідки и дістаємо (3).
Наслідок 3. Если попарно несумісні події А 1 , А 2 , • ... • А n утворюють повну групу, то сума ймовірностей ціх подій дорівнює 1.
Оскількі А 1 U А 2 U • ... • U А n = О© и P (О©) = 1, то за формулою (2) маємо
P (А 1 ) + P (А 2 ) + ... + P (А n ) = 1. (4)
Приклад 1. У лотереї розігруються 1000 Білетів, з них на один пріпадає виграш 5000 грн., на 10 Білетів - виграш по 1000 грн, на 50 Білетів - виграш 200 грн, на 100 Білетів - виграш 50 грн. Решта Білетів невіграшні. Знайте ймовірність виграш на один білет не менше як 200 грн.
Позначімо події: А - виграш не менше як 200 грн, А 1 - виграш 200 грн, А 2 - виграш 1000 грн, A 3 - виграш 5000 грн.
Подія А віражається через об'єднання трьох несумісніх подій А 1 , А 2 , А 3 , тоб А = А 1 U А 2 U А 3 . За теоремою 1 дістанемо
P (A) = P (А 1 ) + P (А 2 ) +. P (А 3 ),
або
P (A) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.
Приклад 2. П...
