а Умова Існування Умовний екстремум)
Для того щоб точка булу цяткою Умовний екстремум Функції при рівнянні звязку та патенти, щоб ее координати при Деяк значень задовольнялі систему рівнянь:
ЦІ умови означаються, что точка є стаціонарною точкою Функції Лагранжа и ее координати задовольняють Рівняння звязку.
Теорема 3.2. (Достатньо Умова Умовний екстремум)
Нехай Функції, подвійно неперервно діференційовні в околі точки и нехай у Цій точці віконуються необхідні умови Існування екстремум Функції при обмеженні Тоді если за умови
, (3.12)
другий Диференціал Функції Лагранжа є додатним (відємно) визначеня квадратичною формою, то функція у точці має умовний строгий мінімум (максимум).
Если за умів (3.12) другий Диференціал є невизначенності квадратичною формою, то в точці Умовний екстремум немає.
Приклад 9. Знайте умовний екстремум Функції=відносно Рівняння звязку.
Функції и подвійно неперервно діференційовні. Матриця Якобі в даного випадка має вигляд и ее ранг дорівнює 1 в усіх точках, что задовольняють Рівняння звязку. Отже, можна скористати методом Лагранжа. Запішемо функцію Лагранжа
.
согласно з необхіднімі умів дістанемо систему:
З якої знаходімо, при; , При. Таким чином, функція может мати умовний екстремум только в двох точках (- 5; 4) і (5; - 4).
Обчіслімо другий Диференціал Функції Лагранжа:,,, тоді .Знайдемо перший Диференціал Функції.
У точках (- 5; 4) і (5; - 4) діференціалі и повязані рівністю:,. При віконанні цієї умови другий Диференціал Функції Лагранжа в точці (- 5; 4) є додатним визначеня квадратичною формою, а в точці (5; - 4) - відємно визначеня формою.
Отже, функція у точці (- 5; 4) має умовний мінімум, а в точці (5; - 4) - умовний максимум.
Приклад 10. Знайте оптимальне значення Функції z =, если 2x-y - 3=0. Функція Лагранжа має вигляд :. L (x; y; л)=+ л (2x-y - 3).
?
Отже, точка - стаціонарна точка Функції Лагранжа. Встановімо характер цієї точки.
.
=- 4 lt; 0.
Отже, функція Лагранжа в точці екстремум НЕ має. Проти Це не означає, что функція z=в точці НЕ має умовний екстремум. Дійсно, запішемо безпосередно другий Диференціал Функції z в точці або Продіференціювавші Рівняння зв язку 2x-y - 3=0 одержимо 2dx-dy=0, dy=2dx Тоді=- 6 lt; 0 Другий Диференціал є від ємно визначеня квадратичною формою, тому в точці функція z набуває свой умовний максимум
Висновки
У даній курсовій работе Було Введення Поняття Функції двох змінніх, наведені методи та алгоритм знаходження екстремумів Функції двох змінніх. Булі такоже розглянуті необхідна и достаточно Умова Існування екстремум.
При розв язанні примеров на знаходження екстремумів НЕ вінікало ніякіх проблем. Такоже можна відзначіті, что за даною темою наявна велика Кількість літературних джерел в якіх доступно викладеня материал.
Мені сподобалось працювати самє з цією темою, тім что я вдосконаліла свои знання з іншого курсу. Хотілося б віділіті підручник Шкіль.М.І. «Математичний аналіз» частина 2, что допоміг мені з пошуку доведенням теорем та информации, на Які я спіралі, готуючі Сейчас материал. Ця тема є очень актуальна на сьогоднішній день.
Список використаних джерел
1.Задачнік за курсом математичного аналізу ч. II. Под ред. Н. Я. Виленкина. Навч. посібник для студентів заоч. отд-ний фіз-мат. фак. педінститутів. М., «Просвещение», 1971. - 336 с. Перед загл. авт. Н. Я. Віленкін, К. А. Бохан, І. А. Марон та ін.
.Гусак А. А .. Математичний аналіз стану та діференціальніуравне-нія.-Мн.: ТетраСистемс, 1998. - 416 з.
3.Гусак А. А .. Вища математика. Навчальний посібник для студентов вузів в 2-х томах.-Мн., 1998. - 544 з. (1 т.), 448 з. (2 т.).
.Давідов.М.О. Курс математичного АНАЛІЗУ: Підручник: У 3 ч. Ч.2. Функції багатьох змінніх и Диференціальні рівняння.- 2-ге вид., Перероб. и допов.-К .: Вища шк., 1991. - 366 с .: іл.
5.5.Задачі і вправи з математичного аналізу (для вузів)/Под ред. Б. П. Демидовича.- М .: Наука, 1968. - 472 с.
.Кудрявцев Л.Д. Математичний аналіз: У 2 т.- М.: Висш.шк., 1970 ..- Т.1-2.
.Овчінніков П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Вища математика.-К .: Вища шк., 1987. - 552 с.
8.Шкіль М.І. Математичний аналіз: Підручник: У 2 ч. Ч.2.- 3-тє вид., Переробл. и допов.- К .: Вища шк., 2005. - 510с .: іл.
.Шкіль М.І., Лейфура В.М., Самусенко П.Ф.Діференціальні рівняння.-К.: Техніка, +2003.- 366...
