, M, N, то вона пройде і через четверту вершину Q. Аналогічно доводиться, що P належить W, R належить W.
Перейдемо до точок X, Y, Z. Відрізок XL перпендикулярний BH як середня лінія? AHB. Відрізок BH перпендикулярний AC і так як AC паралельно LM, то BH перпендикулярно LM. Отже, XLM=П/2. Аналогічно, XNM=П/2.
У чотирикутнику LXNM два протилежні кута прямі, тому біля нього можна описати коло. Це буде окружність W. Отже, X належить W, аналогічно Y належить W, Z належить W.
Серединний? LMN подібний? ABC. Коефіцієнт подібності дорівнює 2. Отже, радіус кола дев'яти точок дорівнює R/2.
Властивості окружності Ейлера:
Радіус кола дев'яти точок дорівнює половині радіуса кола, описаного близько? ABC.
коло дев'яти точок гомотетічна кола, описаного близько? ABC, з коефіцієнтом? і центром гомотетии в точці H.
Рис. 2.18
Теорема. Ортоцентр, центроид, центр описаного кола і центр кола дев'яти точок лежать на одній прямій. Пряма Ейлера.
Доказ. Нехай H - ортоцентр? ABC (ріс.2.18) і O - центр описаного кола. За побудовою серединні перпендикуляри? ABC містять висоти серединного? MNL, т. O одночасно ортоцентром? LMN. ? LMN ~? ABC, їх коефіцієнт подібності дорівнює 2, тому BH=2ON.
Проведемо через точки H і O пряму. Одержимо два подібних трикутника? NOG і? BHG. Так як BH=2ON, то і BG=2GN. Останнє означає що точка G є центроїдом? ABC. Для точки G виконується співвідношення HG: GO=2: 1.
Нехай далі TF є серединний перпендикуляр? MNL і F - точка перетину цього перпендикуляра з прямою HO. Розглянемо подібні? TGF і? NGO. Точка G - центроид? MNL, тому коефіцієнт подібності? TGF і? NGO дорівнює 2. Звідси OG=2GF і так як HG=2GO, то HF=FO і F - середина відрізка HO.
Якщо провести ті ж міркування щодо серединного перпендикуляра до іншої сторони? MNL, то він також повинен пройти через середину відрізка HO. Але це означає, що точка F - точка серединних перпендикулярів? MNL. Така точка є центром кола Ейлера. Теорема доведена.
Ріс.2.18
ВИСНОВОК
У даній роботі ми розглянули 4 чудові точки трикутника, вивчаються в школі та їх властивості, на основі яких ми можемо вирішувати безліч завдань. Так само були розглянуті точка жергонна, окружність Ейлера і пряма Ейлера.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Геометрія 7-9. Підручник для середніх шкіл//Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. та ін. - М .: Просвещение, 1994.
2. Амелькин В.В. Геометрія на площині: Теорія, завдання, рішення: Учеб. Посібник з математики//В. В. Амелькин, В.Л. Рабцевіч, В.Л. Тимохович - Мн .: «Асар», 2003.
. В.С. Болодурін, О.А. Вахмяніна, Т.С. Ізмайлова//Посібник з елементарної геометрії. Оренбург, ОДПІ, 1991.
. Прасолов В.Г. Завдання з планіметрії.- 4-е вид., Доповнене - М .: Изд-во Московського центру безперервної математичної обра-тання, 2001.
