ign="justify"> де? - деяка внутрішня точка відрізка l.
Нехай? х gt; 0, тоді 0 lt; ?-x 0 lt;? x, і тому
Вважаючи отримуємо
де (25)
Аналогічно, якщо? х lt; 0. то 0 lt; x 0 -? lt; , І тому вважаючи знову отримуємо рівність (25), де 0 lt;? Lt; 1.
Отже, рівність (24) можна записати у вигляді
, (26)
де 0 lt;? lt; 1.
Формулу (26) називають формулою кінцевих ріращеній Лагранжа. Вона дає точно вираз для приросту функції на відміну від наближеної рівності
яке іноді називають формулою нескінченно малих збільшень.
Прімер1. Довести що
а) ln (1 + x) lt; х пріx gt; 0 (27)
б) (28)
? а) Застосовуючи теорему Лагранжа до функції f (x)=ln (1 + x) на відрізку [0, x] де x gt; 0, отримуємо ln (1 + x)=звідки випливає нерівність (27), так як 0 lt ;? lt; х.
б) По теоремі Лагранжа для функції arctgx на відрізку з кінцями х 1 і х 2 знаходимо
arctgx 2 -arctgx 1=
звідки отримуємо так як
Вважаючи в співвідношенні (28) х 2=х, х 1=0, отримуємо
(29)
і, зокрема,
(30)
1.6 Деякі слідства з теореми Лагранжа
Слідство 1. Якщо функція f (x) диференційовна на інтервалі (a, b) і
f/(x)=0 для всіх x Є (a, b), то
f (x)=C=const, x Є (a, b).
Нехай x 0 -фіксірованная точка інтервалу (a, b), x- будь-яка точка цього інтервалу. Застосовуючи теорему Лагранжа до функції f (x) на відрізку з кінцями х 0 і х, отримуємо
де звідки
Слідство 2. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b) і для всіх x Є (a, b) виконується рівність f/(x )=r, де r-постійна, то
F (x)=rx + B, x Є [a, b],
т.е f-лінійна функція.
Застосовуючи теорему Лагранжа до функції f на відрізку [a, x], де a? x? b, отримуємо f (x) -f (a)=r (xa), звідки випливає, що f (x)=rx + B, де B=f (a) -r. a.
Слідство 3. Нехай функція f (x) диференційовна на інтервалі (a, b), за винятком, можливо, точки х 0 Є (a, b), і неперервна в точці х 0. Тоді якщо є кінцевий або нескінченний
(31)
то в точці х 0 існує ліва похідна, причому
(32)
Аналогічно, якщо існує
(33)
то
(34)
Нехай прирощення? х таке, що? х? 0 і точці х 0 +? х належить інтервалу (a, b). Запишемо рівність (34). У вигляді
(35)
Якщо існує переділ (31), тобто то права частина (35) має переділ, рівний А, а тому існує межа в лівій частині (35) і справедливо рівність (32)
Аналогічно зі співвідношення (33) випливає рівність (34).
Припустимо, що функція f (x) диференційовна в точці х 0, тоді
(36)
Якщо межі (31) і (33) існують і кінцеві, то з співвідношень (32), (34) і (36) випливає, що
Це означає, що якщо функція f (x) диференційовна на інтервалі (a, b), то її похідна f/(x) не може мати точок розриву першого роду. Інакше кажучи, кожна точка х 0 Є (a, b) є або точкою безперервності функції f/(x), або точкою розриву другого роду.
Приклад 2. Знайти і якщо f (x)=arcsin.
Функція f визначена на R, так як 1 + х 2? 2 (х).
Звідки
Застосовуючи наслідок 12.3, отримуємо
Аналогічно знаходимо
Приклад3. Знайти точки розриву функції f/(x), якщо
Якщо х? 0, то якщо х=0, то за визначенням похідною Отже, функція f/(x) визначена на R і неперервна при х? 0. У точці х=0 ця функція має розрив другого роду, оскільки не існує межі функції
при
Слідство 4. Якщо функції? і? діфференцируєми при і задовольняють умовам при х gt; x 0 то? (...
