x 0 +?), Виконується нерівність
(14)
Якщо x Є, то х-х 0 lt; 0 і з умови (14) випливає, що
(15)
а якщо x Є, то виконується нерівність
(16)
Так як функція fдіфференціруема в точці х 0, то існує межа при в лівій частині нерівності (15), рівний f/- (x 0)=f/(x 0). За властивостями меж з (15) випливає, що
f/(x 0)? 0. (17)
Аналогічно, переходячи до межі в нерівності (16), отримуємо
f/(x 0)? 0. (18)
З нерівностей (17) і (18) слдует, що f/(x 0)=0.
Зауваження 4. Теорема Ферма має простий геометричний зміст: дотична до графіка функції у=f (x) в точці локального екстремуму (х 0, f (x)) паралельна осі абсцис (рис. 8)
. 4 Теорема Роля про нулі похідною
Теорема 4 (Роля). Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], приймає в кінцях цього відрізка рівні значення, т.е.
f (а)=f (b), (19)
і дифференцируема на інтегралі (a, b), то існує точка? Є (a, b) така, що
f/(?)=0. (20)
Позначимо М=f (x), m=f (x). По теоремі Вейєрштрасса на відрізка [a, b], існують такі точки з 1 і з 2, що f (c 2)=M. f (c 1)=m
Якщо m=M, то f (x)=const, і в якості? можна взяти будь-яку точку інтервалу (a, b).
Якщо mM, то m lt; M, і тому f (c1) lt; f (c2). В силу умови (19), принаймні одна з точок c1, c2 є внутрішньою точкою відрізка [a, b]. Нехай, наприклад, c1 Є (a, b).
Тоді існує число? gt; 0 таке, що U? (с1) (a, b). Так як для всіх х ЄU? (с1) виконується умова f (х)? f (с1)=m, то по теоремі Ферма f/(с1)=0, тобто умова (20) виконується при?=з1. Аналогічно розглядається випадок, коли с2 Є Є (a, b).
Теорему Роля можна коротко сформулювати так: між двома точками, в яких диференціюється функція приймає рівні значення, знайдеться хоча б один нуль похідною цієї функції. Для випадку f (a)=f (b)=0 теорема формулюється ще коротше: між двома нулями диференціюється лежить хоча б один нуль її похідної.
Зауваження 4. Геометричний зміст теореми Роля: при умовах теореми 4 існує значення? Є (a, b) таке, що дотична до графіка функції y=f (x) в точці (?; F (?)) Паралельна осі Ох (рис. 9)
Зауваження 5. Всі умови теореми Роля істотні. На рис.10, 11 і 12 зображені графіки функцій, кожна з яких задовольняє всім умовам теореми Роля, крім одного. Для всіх цих функцій не існує точки на інтервалі (- 2, 2), в якій похідна була б дорівнює нулю.
1.5 Формула кінцевих збільшень Лагранжа
похідний локальний екстремум теорема
Теорема 5 (Лагранж). Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і диференційовна на інтервалі (a, b), то в цьому інтервалі знайдеться хоча б одна точка? така, що
f (b) -f (a)=f/(?) (b-a). (21)
Розглянемо функцію
де число? виберемо таким, щоб виконувалася умова ті
Звідси знаходимо
(22)
Так як функція? (х) неперервна на відрізку [a, b], дифференцируема на інтервалі (a, b) і приймає рівні значення в кінцях цього інтервалу, то теоремі Роля існує точка? Є (a, b) така що Звідси в силу умови (12.12) одержуємо рівність
(23)
равносильное рівності. (21)
Зауваження 4 Перша частина формули (23) дорівнює кутовому коефіцієнту січною, яка проходить через точки А (a, f (a)) B (b, f (b)) графіка функції y=f (x ), а ліва частина цієї формули дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка в точці (?, f (?)). Тому теорема Лагранжа має наступну геометричну інтерпретацію: існує значення? Є (a, b) таке, що дотична до графіка функції y=f (x) в точці (?, F (?)) Паралельна січної (рис. 8), що з'єднують точки A (a, f (a)) і B (b, f (b)).
Зауваження 5 Нехай функція f задовольняє умовам теореми 12.3. якщо х 0 Є [a, b], прирощення? х? 0 і таке, що точка х 0 +? х також належить відрізку [a, b], то, застосувавши теорему Лагранжа до функції f (x) на відрізку l з кінцями х 0 і х 0 +? х (? х може бути і негативними), отримаємо
(24)
