Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.
Теорема. Прямі Ах + Ву + С = 0 і А1х + В1у + С1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А1 = Lа, В1 = Lв. Якщо ще і С1 = LС, то прямі збігаються. p align="justify"> Координати точки перетину двох прямих знаходяться як рішення системи рівнянь цих прямих.
3.7 Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямий
Визначення. Пряма, через точку М1 (х1, у1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:
В
3.8 Відстань від точки до прямої
Теорема. Якщо задана точка М (х0, у0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як
.
Доказ. Нехай точка М1 (х1, у1) - підстава перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М1:
(1)
Координати x1 і у1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:
В
Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи до вигляду:
алгебра векторний математичний аналіз
A (x - x0) + B (y - y0) + Ax0 + By0 + C = 0,
то, вирішуючи, отримаємо:
В
Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:
.
Теорема доведена.
Приклад. Визначити кут між прямими:
y =-3x + 7; y = 2x + 1.
k1 = -3; k2 = 2 tgj =; j = p/4.
Приклад. Показати, що прямі
х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.
Знаходимо: k1 = 3/5, k2 = -5/3, k1k2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.
Приклад. Дано вершини трикутника А (0; 1), B (6, 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини С.
Знаходимо рівняння боку АВ
; 4x = 6y - 6;
x - 3y + 3 = 0;
Искомое рівняння висоти має вигляд:
Ax + By + C = 0 або y = kx + b. =. br/>
Тоді y = Т.к. висота проходить через точку С, то її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом:. Відповідь: 3x + 2y - 34 = 0. p> Тема 4. Введення в математичний аналіз
4.1 Односторонні межі
Визначення. Якщо f (x) В® A1 при х В® а тільки при x ; a, те називається границею функції f (x) в точці х = а справа.
Наведене вище визначення відноситься до випадку, коли функція f (x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій як завгодно малої околиці цієї точки. Межі А1 і А2 називаються також однобічними межами функції f (x) в точці х = а. Також кажуть, що А - кінцева межа функції f (x). br/>
4.2 Основні теореми про межі
Теорема 1.
,
де С = const. Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f (x) і g (x) мають кінцеві межі при х В® а. p> Теорема 2. br/>В
Доказ цієї теореми буде наведено нижче. p> Теорема 3. br/>В
Слідство. br/>В
Теорема 4. br/>
при
Теорема 5. Якщо f (x)> 0 поблизу точки х = а і, то А> 0. p> Аналогічно визначається знак межі при f (x) <0, f (x) Ві 0, f (x) ВЈ 0. p> Теорема 6. Якщо g (x) ВЈ f (x) ВЈ u (x) поблизу точки х = а і
,
то й. Визначення. Функція f (x) називається обмеженою поблизу точки х = а, якщо існує таке число М> 0, що ГЇf (x) ГЇ Теорема 7. Якщо функцію f (x) має кінцевий межа при х В® а, те вона обмежена поблизу точки х = а. Доказ. Нехай, тобто , Тоді
або
, тобто
де М = e + ГЇАГЇ
Теорема доведена.
4.3 Нескінченно малі функції
Визначення. Функція f (x) називається нескінченно малою при х В® а, де а може бути числом або однієї з величин ВҐ, + ВҐ або - ВҐ, якщо. Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прагне аргумент х. При різних значеннях а функція можливо нескінченно малої або НЕ т. Приклад. Функція f (x) = xn є нескінченно малою при х В® 0 і не є нескінченно малою при х В® 1, тому . Теорема. Для того, щоб функція f (x) при х В® а мала межа, рівний А, необхідно і достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова
f (x) = A + a (x),
де a (х) - нескінченно мала при х В® а (a (х) В® 0 при х В® а). p> Властивості нескінченно малих функцій:
Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при х В® а теж нескінченно мала функція при х В® а.
Твір фіксованого числа нескінченно малих фу...
