нкцій при х В® а теж нескінченно мала функція при х В® а.
Твір нескінченно малою функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при х В® а.
Приватне від розподілу нескінченно малою функції на функцію, межа якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.
Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доказ деяких теорем про межі, наведених вище.
Доказ теореми 2. Уявімо
f (x) = A + a (x), g (x) = B + b (x), де
,
тоді
(x) В± g (x) = (A + B) + a (x) + b (x) + B = const, a (х) + b (х) - нескінченно мала, значить
В
Теорема доведена.
Доказ теореми 3. Уявімо
f (x) = A + a (x), g (x) = B + b (x), де
,
тоді
Г— B = const, a (х) і b (х) - нескінченно малі, значить
В
Теорема доведена.
4.4 Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими
Визначення. Межа функції f (x) при х В® а, де а-число, дорівнює нескінченності, якщо для будь-якого числа М> 0 існує таке число D> 0, що нерівність ГЇf (x) ГЇ> M виконується при всіх х, що задовольняють умові 0 <ГЇx - aГЇ
Власне, якщо в наведеному вище визначенні замінити умова ГЇ f (x) ГЇ > M на f (x)> M, то отримаємо:
В
а якщо замінити на f (x)
В
Графічно наведені вище випадки можна проілюструвати наступним чином:
Визначення. Функція називається нескінченно великою при х В® а, де а - чослі або одна з величин ВҐ, + ВҐ або - ВҐ, якщо, де А - число або одна з величин ВҐ, + ВҐ або - ВҐ. Зв'язок нескінченно великих і нескінченно малих функцій здійснюється у відповідності з наступною теоремою. Теорема. Якщо f (x) В® 0 при х В® а (якщо х В® ВҐ) і не звертається в нуль, то
В
Порівняння нескінченно малих функцій. Нехай a (х), b (х) і g (х) - нескінченно малі функції при х В® а. Будемо позначати ці функції a, b і g відповідно. Ці нескінченно малі функції можна порівнювати по швидкості їх убування, тобто по швидкості їх прагнення до нуля. Наприклад, функція f (x) = x10 прагне до нуля швидше, ніж функція f (x) = x. Визначення. p> Якщо, то функція a називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція b. Визначення. p> Якщо, то a і b називаються нескінченно малими одного порядку. Визначення. p> Якщо то функції a і b називаються еквівалентними нескінченно малими. Записують a ~ b. Приклад. Порівняємо нескінченно малі при х В® 0 функції f (x) = x10 і f (x) = x. br/>В
тобто функція f (x) = x10 - нескінченно мала вищого порядку, ніж f (x) = x. Визначення. Нескінченно мала функція a називається нескінченно малою порядку k щодо нескінченно малою функції b, якщо межа кінцевий і відмінний від нуля. Однак слід зазначити, що не всі нескінченно малі функції можна порівнювати між собою. Наприклад, якщо відношення не має межі, то функції непорівнянні. Приклад. Якщо, то при х В® 0, тобто функція a - нескінченно мала близько 2 щодо функції b. Приклад. Якщо, то при х В® 0 не існує, тобто функція a і b непорівнянні.
4.5 Властивості еквівалентних нескінченно малих
1) a ~ a,
) Якщо a ~ b і b ~ g, то a ~ g,
) Якщо a ~ b, то b ~ a,
) Якщо a ~ a1 і b ~ b1 і, то і чи.
Слідство: а) якщо a ~ a1 і, то і б) якщо b ~ b1 і, то
Властивість 4 Особливо важливо на практиці, тому що воно фактично означає, що межа відносини нескінченно малих не змінюється при заміні їх на еквівалентні нескінченно малі. Цей факт дає можливість при знаходженні меж замінювати нескінченно малі на еквівалентні їм функції, що може сильно спростити обчислення меж. p> Приклад. Знайти межа
Так як tg5x ~ 5x і sin7x ~ 7x при х В® 0, то, замінивши функції еквівалентними нескінченно малими, отримаємо:
В
Приклад. Знайти межа. p> Так як
- cosx =
при х В® 0, то. br/>
Приклад. Знайти межа Якщо a і b - нескінченно малі при х В® а, причому b - нескінченно мала вищого порядку, ніж a, то g = a + b - нескінченно мала, еквівалентна a. Це можна довести таким рівністю. Тоді кажуть, що a - головна частина нескінченно малою функції g. Приклад. Функція х2 + х - нескінченно мала при х В® 0, х - головна частина ці...
