В
Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.
В
Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.
Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний добуток векторів і.
= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
В
Знайдемо кут між вектором нормалі і вектором.
В
-4 - 4 = -8.
Бажаємий кут g між вектором і площиною буде дорівнює g = 900 - b.
В
Знайти площу грані А1А2А3.
Знайти об'єм піраміди.
(ед3).
Знайти рівняння площини А1А2А3.
Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.
В
2x + 2y + 2z - 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
Тема 3. Елементи аналітичної геометрії
.1 Рівняння лінії на площині
Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в який-або системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису і початку координат. p align="justify"> Визначення. Рівнянням лінії називається співвідношення y = f (x) між координатами точок, що складають цю лінію. p align="justify"> Зазначимо, що рівняння лінії може бути виражене параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.
Характерний приклад - траєкторія рухається точки. У цьому випадку роль параметра відіграє час. br/>
3.2 Рівняння прямої на площині
Ухвала. Будь пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
Ах + Ву + С = 0,
причому постійні А, В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2 + В2 В№ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.
Залежно від значень постійних А, В і С можливі наступні окремі випадки:
C = 0, А В№ 0, В В№ 0 - пряма проходить через початок координат
А = 0, В В№ 0, С В№ 0 {By + C = 0} - пряма паралельна осі Ох
В = 0, А В№ 0, С В№ 0 {Ax + C = 0} - пряма паралельна осі Оу
В = С = 0, А В№ 0 - пряма збігається з віссю Оу
А = С = 0, В В№ 0 - пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямій може бути представлено у різному вигляді в залежності від будь - яких заданих початкових умов.
3.3 Рівняння прямої, що проходить через дві точки
Нехай у просторі задано дві точки M1 (x1, y1, z1) і M2 (x2, y2, z2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:
В
Якщо який-небудь з знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На площині записане вище рівняння прямої спрощується:
В
якщо х1 В№ х2 і х = х1, есліх1 = х2.
Дріб = k називається кутовим коефіцієнтом прямої.
Приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А (1, 2) і В (3, 4). p> Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:
В
3.4 Рівняння прямої по точці і кутовому коефіцієнту
Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:
і позначити, то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.
3.5 Рівняння прямої у відрізках
Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0 С В№ 0, то, розділивши на-С, отримаємо: або,
де
В
Геометричний сенс коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b - координатою точки перетину прямої з віссю Оу.
Приклад. Визнач загальне рівняння прямої х - у + 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках. С = 1,, а = -1, b = 1. br/>
3.6 Кут між прямими на площині
Визначення. Якщо задані дві прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2, то гострий кут між цими прямими буде визначатися як
.
Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2.
...
