трії почасти здаються парадоксальними і незвичного людині навіть безглуздими; але при суворому і спокійному роздумі виявляється, що вони не містять нічого неможливого. Так, наприклад, всі три кути трикутника можна зробити як завгодно малими, якщо тільки взяти досить великі сторони; площа ж трикутника не може перевищити, навіть не може досягти деякої межі, як би якими великими були його сторони. Всі мої старання знайти в цій неевклідової геометрії протиріччя або непослідовність залишилися безплідними, і єдине, що в цій системі противиться нашому розуму, це те, що в просторі, якби ця система була справедлива, мала б існувати деяка сама за себе певна (Хоча нам і невідома) лінійна величина. Але мені здається, що ми, крім нічого не виражає словесної мудрості метафизиков, знаємо дуже мало або навіть не знаємо нічого про сутність простору. (З листа до Таурінус, 1824)
У 1818 році в листі до австрійського астроному Герлинг Гаусс висловив свої побоювання:
Я радію, що ви маєте мужність висловитися так, як якщо б Ви визнавали хибність нашої теорії паралельних, а разом з тим і всій нашій геометрії. Але оси, гніздо яких Ви потривожите, полетять Вам на голову. p> Ознайомившись з роботою Лобачевського В«Геометричні дослідження з теорії паралельнихВ», Гаусс енергійно клопоче про обрання російського математика іноземним членом-кореспондентом Геттінгенського королівського товариства (що і відбулося в 1842 році).
Лобачевський і Бойя проявили велику сміливість, ніж Гаус, і майже одночасно (Лобачевський - в доповіді 1826 року та публікації 1829; Бойя - у листі 1831 та публікації 1832), незалежно один від одного, опублікували виклад того, що зараз називається геометрією Лобачевського. Лобачевський просунувся в дослідженні нової геометрії далі всіх, і вона в справжній момент носить його ім'я. Але головна його заслуга не в цьому, а в тому, що він повірив в нову геометрію і мав мужність відстоювати своє переконання (він навіть запропонував експериментально перевірити V постулат, вимірявши суму кутів трикутника).
Під вступ до своєї книги В«Нові початку геометріїВ» Лобачевський рішуче заявляє:
Всім відомо, що в геометрії теорія паралельних дотепер залишалася недосконалою. Марна старання з часів Евкліда, в продовженні двох тисяч років, змусили мене підозрювати, що в самих поняттях ще полягає тієї істини, яку хотіли доводити і яку перевірити, подібно іншим фізичним законам, можуть лише досліди, які, наприклад, астрономічні спостереження. <...> Головне висновок <...> допускає існування геометрії в більш великому сенсі, ніж як її представив нам перший Евклід. У цьому розлогому вигляді дав я науціназва Уявлюваного Геометрія, де як окремий випадок входить вжиткового Геометрія.
Трагічна доля Лобачевського, підданого остракізму в науковому світі і службовому оточенні за надто сміливі думки, показала, що побоювання Гаусса не були марними. Але й його боротьба була не марна. За іронією долі торжество сміливих ідей Ло Бачевського забезпечив (посмертно) обережний Гаусс. У 1860-ті роки була опублікована листування Гаусса, у тому числі кілька захоплених відгуків про геометрію Лобачевського, і це привернуло увагу до праць російського математика. У 1868 році виходить стаття Е. Бельтрами, який показав, що площину Лобачевського має постійну негативну кривизну (у евклідової площині кривизна нульова, усфери - позитивна); дуже швидко неевклідова геометрія набуває легальний науковий статус, хоча все ще розглядається як чисто умоглядна.
У Наприкінці XIX-початку XX століття спочатку математики (Бернхард Ріман, Вільям Кінгдон Кліффорд), а потім і фізики (Загальна теорія відносності, Ейнштейн), остаточно покінчили з догматом про евклідової геометрії фізичного простору.
Моделі неевклідової геометрії.
Довести несуперечливість нової геометрії ні Лобачевський, ні Бойя не зуміли - тоді математика ще не мала необхідними для цього засобами. Тільки через 40 років з'явилися модель Клейна (1871) і модель Пуанкаре (1882), реалізують аксіоматику геометрії Лобачевського на базі евклідової геометрії. Ці моделі переконливо доводять, що заперечення V постулату який суперечить іншим аксіомам геометрії; звідси випливає, що V постулат незалежний від інших аксіом і довести його неможливо.
Список літератури
1.
2.
