пактний оператор у гільбертовому просторі має нетривіальне інваріантне замкнутий підпростір.
Програми нестандартного аналізу в математики охоплюють велику область від топології до теорії диференціальних рівнянь, теорії заходів і ймовірностей. Що стосується внематематіческіх додатків, то серед них ми зустрічаємо навіть додатки до математичної економіці. Багатообіцяючим виглядає використання нестандартного гильбертова простору для побудови квантової механіки. А в статистичній механіці стає можливим розглядати системи з нескінченного числа частинок. Крім застосувань до різних областей математики, дослідження в області нестандартного аналізу включають в себе і дослідження самих нестандартних структур.
У 1976 р. вийшли одразу три книги з нестандартному аналізу: "Елементарний аналіз" і "Підстави обчислення нескінченно малих "Р. Дж. Кейслер і" Введення в теорію нескінченно малих "К. Д. Стройана і В. А. Дж. Люксембургу. p> Бути може, найбільшу користь нестандарт методи можуть принести в галузі прикладної математики. У 1981 р. вийшла книга Р. Лутца і М. Гозе "Нестандартний аналіз: практичне керівництво з додатками ". У цій книзі після викладу основних принципів нестандартного аналізу розглядаються питання теорії збурень.
В даний час нестандартний аналіз завойовує все більше визнання. Відбулася низка міжнародних симпозіумів, спеціально присвячених нестандартному аналізу і його додатків. У перебігу останнього десятиліття нестандартний аналіз (точніше, елементарний математичний аналіз, але заснований на нестандартному підході) викладався в ряді вищих навчальних закладів США. p> 3. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ВЕЛИЧИНИ
Один з найбільш принципових моментів нестандартного аналізу полягає в тому, що нескінченно малі розглядаються не як змінні величини (тобто не як функції, які прагнуть до нуля, як вчать сучасні підручники), а як величини постійні. Та-кою підхід добре узгоджується як з інтуїцією натураліста, так і з реальною історією зародження математичного аналізу. Що стосується інтуїції, то досить розкрити будь-який підручник фізики, щоб натрапити на нескінченно малі прирощення, нескінченно малі обсяги і т.п. Всі ці величини мисляться, зрозуміло, не як змінні, а просто як дуже маленькі, майже рівні нулю. Було б неправильно вважати подібного роду інтуїцію притаманною лише авторам підручників фізики. Навряд чи якийсь математик сприймає (наочно) елемент дуги ds інакше, ніж "дуже маленьку дугу". Будь математик, складаючи відповідне диференціальне рівняння, скаже, що за нескінченно малий час dt точка пройшла нескінченно малий шлях dx , а кількість радіоактивної речовини змінилося на нескінченно малу величину dN.
Що ж до історії математичного аналізу, то в найбільш явній формі висловлюваний підхід проявився у одного з основоположників цієї науки - Лейбніца. У травні 1984 р. виповнилося 300 років з того дня, як символи dx і dy вперше з'явилися на сторінках математичних публікацій, а саме в знаменитому ...
