мемуарі Лейбніца "Новий метод ...". Саме Лейбніц ясніше інших відчував нескінченно малі величини постійними (хоча й уявними, ідеальними) величинами особливого роду, і саме Лейбніц сформулював правила оперування з нескінченно малими у вигляді обчислення.
Які позитивні числа слід називати нескінченно малими?
Перший відповідь така: позитивне число e називається нескінченно малим, якщо воно менше всіх позитивних чисел. Однак нескінченно малих в цьому сенсі позитивних чисел не буває: адже якщо число менше всіх позитивних чисел і саме позитивно, воно має бути менше самого себе. Спробуємо виправити становище, зажадавши, щоб e було менше всіх інших
позитивних чисел, але більше нуля, тобто щоб e було найменшим у множині позитивних чисел. На числовій осі таке e повинно зобразитися самої лівої точкою множини (0, + ВҐ). На жаль, числа e з зазначеними властивостями теж немає і не може бути: якщо e позитивно, то число e/2 буде позитивним числом, меншим e. (Згідно звичайним властивостям нерівностей для всякого а > 0 виконуються нерівності 0 <а/2 <а ). Так що якщо ми не хочемо відмовлятися від звичних нам властивостей дійсних чисел (наприклад, від можливості розділити будь-яке число на 2 або від можливості помножити будь нерівність на позитивне число), але хочемо мати нескінченно малі числа, то наведене визначення нескінченної малості не годиться.
Більше витончене визначення нескінченної малості числа e> 0, яке ми будемо використовувати надалі, таке. Будемо складати число e з самим собою, отримуючи числа e, e + e, e + e + e, e + e + e + e і т. д. Якщо всі отримані числа виявляться менше 1, то число e і називатиметься нескінченно малим. Іншими словами, якщо e нескінченно мало, то скільки разів ні відкладай відрізок довжини e вздовж відрізка довжини 1, до кінця не дійдеш. Наша вимога до нескінченно малому e можна переписати і в такій формі (поділивши на e): 1 <1/e, 1 +1 <1/e, 1 +1 +1 <1/e, ...
Таким чином, якщо число число e нескінченно мало, то число 1/e нескінченно велике в тому сенсі, що воно більше будь-якого з чисел 1, 1 +1, 1 +1 +1, 1 +1 +1 +1 і т. д. Так що якщо ми почнемо вимірювати відрізок довжиною 1/e з допомогою еталона довжини (тобто відкладаючи послідовно відрізки одиничної довжини), то процесу вимірювання ніколи не закінчимо. p> З вищевикладеного випливає, що існування нескінченно малих суперечить так званої аксіомі Архімеда, яка стверджує, що для будь-яких двох відрізків А і В можна відкласти менший з них (А) стільки разів, щоб в сумі отримати відрізок, що перевершує по довжині більший відрізок (В).
Наведена формулювання стосується відрізків; якщо вважати (як це зазвичай робиться), що довжини відрізків є числами, ми приходимо до такого формулювання аксіоми Архімеда: для будь-яких двох чисел а і b , для яких 0 <а < b < i>, одна з нерівностей а + а> b ,
