ійсними коефіцієнтами.
4. Витяг коренів. br/>
Витяг кореня з комплексного числа є дія, зворотне зведення в ступінь. З його допомогою по даній ступеня (подкоренное число) і даним показником ступеня (показник кореня) знаходять підставу (корінь). Інакше кажучи, це дія рівносильно рішенням рівняння z n = a для знаходження z. У безлічі комплексних чисел дію добування кореня завжди здійснимо, хоча причому і неоднозначно: у результаті виходить стільки значень, який показник кореня. Зокрема, квадратний корінь має рівно два значення, які можна знайти за формулою:
в€љ a = в€љ О± + iОІ = В± ((в€љ | a | + О±)/2 В± i (в€љ | a |-О±)/2)), де знак В«+В» в дужках береться при ОІ> 0, В«-В» - при ОІ <0.
5. Геометричний сенс алгебраїчних операцій. p> Нехай дано два комплексних числа z 1 і z 2 . У результаті складання цих чисел виходить число z 3 , зображуване вектором 0С діагоналі паралелограма 0АСВ (за правилом паралелограма додавання векторів): z 1 + z 2 = 0A +0 B = 0C = z 3 .
Рис.3
Різниця (z 1 -z 2 ) даних чисел, відповідна їх вирахуванню, можна розглядати як суму вектора 0А, який зображує число z 1 і вектора 0D = - 0В, протилежної вектору 0В (Симетричного йому відносно початку координат): z 1 -z 2 = z 1 + (-z 2 ) = 0A +0 D = 0E = BA. Таким чином, різниці (z 1 -z 2 ) даних чисел відповідає вектор ВА іншої діагоналі паралелограма 0АСВ.
Для ілюстрації інших алгебраїчних дій над комплексними числами зручніша тригонометрическая форма.
Множення. Нехай дано два комплексних числа z 1 = r 1 (cosП† 1 + isinП† 1 ) і z 2 = r 2 (cosП† 2 + isinП† 2 ). Перемножая їх отримаємо Отже, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Це правило вірно і для будь-якого числа співмножників. p> Ділення. Якщо потрібно розділити z 1 на z 2 , то виконуємо наступні перетворення: тобто при діленні двох комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.
Піднесення до степеня. Множачи число z = r (cosП† + isinП†) саме на себе В«nВ» раз, отримуємо згідно з правилом множення z n = r n (cosП† + isinП†) n = r n (cosnП† + isinnП†). Таким чином, при зведенні комплексного числа в ступінь В«nВ» в ту ж ступінь возводимся його модуль, а аргумент множиться на В«nВ» (На показник ступеня). В окремому випадку, якщо r = 1, то попереднє рівність приймаємо вигляд (cosП† + isinП†) n = cosnП† + isinnП† (9). Отримана формула називається формулою Муавра (1667-1754). p> Витяг кореня. Нехай а = re i П† , z = ПЃe iПѓ . Вирішуємо рівняння z n
