> = a для обчислення n в€љ a: ПЃ n e inПѓ = re i П† . Звідси з урахуванням того, що аргументи чисел відрізняються на ціле кратне числу 2ПЂ, отримуємо: ПЃ n = r, nПѓ-П† = 2ПЂK, або ПЃ = n в€љ r; Пѓ K +1 = (П† +2 ПЂK)/n (Причому К = 0,1,2 ... n-1). Таким чином, z k = n в€љ r (cosП† + isinП†) = n в€љ r ((cosП† +2 KПЂ)/n + isin ( П† +2 KПЂ)/n)) (10), де n в€љ r , - Арифметичний корінь, а К = 0,1,2, ..., n-1; тобто корінь ступеня n в множині комплексних чисел має "n" різних значень z k (Виняток представляє z = 0. У цьому випадку всі значення кореня рівні між собою і дорівнюють нулю).
Зауважимо також, що різниця між аргументами сусідніх чисел z k +1 і z k постійна і дорівнює 2ПЂ/n: Пѓ k +1 -Пѓ k = (П† +2 ПЂ (K +1))/n-( П† +2 ПЂK)/n = 2ПЂ/n. Звідси випливає, що всі значення n в€љ a розташовуються на комплексній площині у вершинах деякого правильного n-кутника з центром на початку координат.
В В
IV . Застосування комплексних чисел до вирішення алгебраїчних рівнянь 3-ей і 4-ої ступенів.
1. Формула Кардано. br/>
Розглянемо наведене алгебраїчне рівняння 3-го ступеня: x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (11). p> (загальне рівняння 3-ей ступеня зводиться до наведеного поділом на коефіцієнт при старшій ступеня). З допомогою заміни x = y-a/3 це рівняння прийме вигляд y 3 + py + q = 0 (11 '), де p і q - нові коефіцієнти, які залежать від a, b, c. Нехай у 0 - якийсь або корінь рівняння (11 '). Уявімо його у вигляді у 0 = О± + ОІ, де О± і ОІ - невідомі поки числа, і підставимо в рівняння. Отримаємо О± 3 + ОІ 3 + ( О± + ОІ) (3О±ОІ + p) + q = 0 (12). Виберемо тепер О± і ОІ так, щоб 3О±ОІ + р = 0. Такий вибір чисел О± і ОІ можливий, тому що вони (загалом кажучи комплексні) задовольняють системі рівнянь
О± + ОІ = у 0 ;
О±ОІ =-р/3, а значить, існують.
За цих умов рівняння (12) прийме вигляд О± 3 + ОІ 3 + q = 0, а тому ще О± 3 ОІ 3 =-р 3 /27, то отримуємо систему
О± 3 + ОІ 3 =-q;
О± 3 ОІ 3 =-р 3 /27,
з якої по теоремі Вієта випливає, що О± 3 і ОІ 3 є корінням рівняння t 2 + qt-p 3 /27 = 0. Звідси знаходимо: О± 3 =-q/2 + в€љ q 2 /4 + p 3 /27; ОІ 3 = -q/2- в€љ q 2 /4 + p 3 /27, де в€љ q 2 /4 + p 3 /27 означає одне з можливих значень квадратного кореня. Звідси випливає, що корені рівняння (11 ') ви...
