Кут П† = (0М, 0х) між позитивним напрямком осі 0х і вектором 0М, що зображує комплексне число z = x + iy в‰ 0, називається його аргументом. <В
З визначення видно, що кожне комплексне число (в‰ 0), має нескінченну безліч аргументів. Всі вони відрізняються один від одного на цілі кратні 2ПЂ і позначаються єдиним символом Argz (Для числа z = 0 аргумент не визначається, не має сенсу).
Кожне значення аргументу збігається з величиною П† деякого кута, на який слід повернути дійсну вісь (вісь 0ч) до збігу її напрямки з напрямком радіус-вектора точки М, що зображає число z (При цьому П†> 0, якщо поворот відбувається проти годинникової стрілки і П† <0 в іншому випадку). Таким чином, аргумент комплексного числа z = x + iy в‰ 0 є всяке рішення П† системи рівнянь cosП† = x/в€љ x 2 + y 2 ; sinП† = y/в€љ x 2 + y 2 .
Значення Argz при умови 0 ≤ Argz <2ПЂ називається головним значенням аргументу і позначається символом argz. У деяких випадках головним значенням аргументу вважають найменше за абсолютною величиною його значення, тобто значення, що виділяється нерівністю-ПЂ <П† ≤ ПЂ.
Між алгебраїчними х, у і геометричними r, П† характеристиками комплексного числа існує зв'язок, що виражається формулами x = rcosП†, y = rsinП†, отже, z = x + iy = r (cosП† + isinП†). Останній вираз, тобто z = r (cosП† + isinП†) (6) називається тригонометричної формою комплексного числа. Будь-яке число z в‰ 0 може бути представлене в тригонометричної формі.
Для практики число виду (cosП† + isinП†) зручніше записувати коротше, за допомогою символу e i П† = cosП† + isinП† (7). Доведене для будь-яких чисел П† (дійсних чи комплексних) це рівність називається формулою Ейлера. З її допомогою всяке комплексне число може бути записано в показовій формі z = re i П† (8)
3. Операція сполучення і її властивості. br/>
Для даного комплексного числа z = x + iy число x-iy (Відмінне від z лише знаком при уявної частини) називається зв'язаним і позначається символом z. Перехід від числа z до числа z називається сполученням, а самі ці числа сполученими (один до одного), тому що (Z) = z. З визначення випливає, що тільки дійсне число пов'язане самому собі. Геометрично пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо дійсної осі (рис.2).
В
Звідси випливає, що | z | = | z |, argz =-argz. Крім того,
z + z = 2x = 2Rez;
z-z = 2iy = 2iImz;
zz = x 2 + y 2 = | z | 2 ,
а також: z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ; z 1 z 2 = z 1 z 2 ; (Z 1 /z 2 ) = z 1 /z 2 ; P (z) = P (z), де Р (z) - Будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами; (P (z)/Q (z)) = (P (z)/Q (z)), де P і Q - многочлени з д...
