знову розглянути відкритий коло
Дђ: Х 1 2 + Х 2 2 <1. p> Припустимо, що О› з - критична решітка області Дђ. Нижче буде дано начерк докази того, що якщо критична решітка існує, то вона повинна мати три пари точок В± (А 1 , А 2 ), В± (У 1 , У 2 ), В± (С 1 , З 2 ) на кордоні Х 1 2 + Х 2 2 = 1 кола Дђ. p> Якщо О› з не має точок на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, то можна буде отримати Дђ-допустиму грати з меншим визначником, гомотетіческі стискаючи грати О› з до початку координат, тобто розглядаючи грати L = tО› з точок (tX 1 , tX 2 ), де (Х 1 , Х 2 ) ГЋ О› з , а t - це фіксоване число з умовою 0 2 d (L c ) c ) і, очевидно, L буде Дђ-допустимої гратами, якщо t досить близько до 1. Таким чином, решітка L c містить пару точок на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, координати яких після належного повороту осей ми можемо вважати рівними В± (1, 0).
Якби на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1 не було б більше точок решітки L c , то ми змогли б отримати Дђ-допустиму решітку L з меншим визначником, стискаючи грати L c у напрямку, перпендикулярному осі X 1 , тобто приймаючи за L решітку точок (Х 1 , tх 2 ), де (Х 1 , Х 2 ) ГЋ О› з , а t досить близько до 1. p> Нарешті, якби О› з мала б лише дві пари точок В± (1, 0), В± (У 1 , У 2 ) на кордоні, то грати можна було б злегка деформовані-вать так, щоб точка (1, 0) залишилася на місці, а точка з координатами (В 1 , У 2 ) просунулася б вздовж окружності Х 1 2 + Х 2 2 = 1 ближче до осі Х 1 . Наочно це представлено на малюнку:
В
Дана операція, як легко перевірити, зменшує визначник, і при невеликих деформаціях получающаяся решітка О› залишається Дђ-допустимої. Дійсно, (1,0) і (В 1 , У 2 ) можна розглядати як базис решітки О› з , так як трикутник з вершинами (0, 0), (1, 0), (В 1 , У 2 ), а отже, і паралелограм, відповідальний базису (1, 0), (В 1 , У 2 ) не містить усередині себе точок О› з . Тоді критична решітка О› з (якщо вона існує) повинна мати три пари точок на окружності Х 1 2 + Х 2 2 = 1. Легко побачити, що єдиною гратами, у якої три пари точок лежать на колі Х 1 2 + Х 2 2
