поперечних перерізів без спотворення, тоді як поздовжні шари балки деформуються (стискаються і розтягуються) (Мал. 6.2).
В
Рис. 6.2
? - Радіус кривизни шару;
? - кут повороту торця.
Як видно з рис. 6. 2 на опуклій стороні шари балки розтягуються, що приводить до появи позитивної напруги (+?), А на увігнутій - стискаються, з виникненням негативного напруги (-?). У середній зоні, тобто на осі балки, немає напруг і немає деформацій - це нейтральний шар (нейтральна вісь), довжина якого не змінюється.
З метою виведення формул для визначення нормальної напруги і кривизни балки розглянемо елементарний ділянку довжиною l (Мал. 6.3).
В
Рис. 6.3
Початкова довжина балки - ОО1, d? - Кут повороту торцевих переміщень, у - відстань від нейтральної осі до деякого шару. p> Якщо з точки О провести лінію, паралельну правому торцю, дуга bc дорівнюватиме ОО1, а дуга аb - абсолютному подовженню торців вигину, тобто:
,
тоді відносна деформація дорівнює:
В
або
,
тоді:
. (6.1)
Введемо величину k, звану власної кривизною і рівну:
. (6.2)
З аналітичної геометрії варто:
. (6.3)
Ступінь у знаменнику формули (6.3) істотно не впливає на рівність у зв'язку з тим, що деформації жорсткої балки малі, тобто ними можна знехтувати, тоді:
.
Застосовуючи закон Гука:
В
і формули (6.1) і (6.2), отримаємо формулу для визначення нормальної напруги в будь-якому шарі балки (Мал. 6.4):
.
В
Рис. 6.4
Напруга? і його плече у утворює момент, тоді для елементарної площадки можна вивести формулу внутрішнього згинального моменту dMx:
,
повний внутрішній згинальний момент Mx дорівнює:
В
або
,
де - осьовий момент інерції перерізу Ix,
тоді:
,
отже:
. (6.4)
Формула (6.4) дозволяє вести розрахунок на міцність перерізу зігнутої балки. Але на практиці зазвичай замість осьового моменту інерції перетину Ix використовують осьовий момент опору перерізу Wx, що дорівнює:
.
Фізичний зміст Ix зводиться до того, що ця величина - геометрична характеристика перерізу, що описує закономірність розподілу елементарних майданчиків по всьому перетину, а так само показує спроможність перетину чинити опір вигину. Таким чином, умовою статичної міцності балки при згині є вираз:
.
Залежно від відстані між елементарної майданчиком перетину і віссю балки змінюється напруга при згині (Мал. 6. 5): чим далі елементарна майданчик від осі, тим більше величина напруги (формула (6.4)).
В
Рис. 6.5
У зв'язку з цим раціональним є використання саме балки прямокутного перерізу, звані двутаврамі, середній шар якої не чинить опір вигину (Мал. 6.6).
В
Рис. 6.6
Деформації вигнутій балки.
Основною метою аналізу вигину балки є визначення максимального прогину Уmax і найбільшого кута повороту? max зігнутої балки. Нехай на жорстко забиту балку довжиною l діє деяка сила F (Мал. 6.7). br/>В
Рис. 6.7
Для виведення рівнянь, що дозволяють визначити Уmax і? max, скористаємося рівнянням вигнутої балки:
, (6.5)
В
,
константа С визначається накладенням граничних умов, даних для даної балки, а саме:
якщо z = 0, то у = 0 і? = 0;
- якщо z = l, тоді y = max і =? = max,
тоді С = 0, а значить:
, (6.6)
тоді:
.
Проинтегрируем рівняння (6. 6):
,
константа D = 0, тоді:
.
. Складне нагружение
Гіпотези міцності.
Складне нагружение виникає в тих випадках, коли елемент конструкції піддається одночасно кільком найпростішим деформацій. У такому випадку повністю коректний розрахунок деталі на міцність ми здійснити не можемо. Зазвичай безліч напруг розраховується деталі зводять до найпростіших схемами (головним майданчикам), в яких працюють або тільки нормальні, або тільки дотичні напруження (Мал. 6. 1), причому прийнято, що:
.
В
Рис. 7.1
Для отримання розрахункових формул для то го чи іншого виду навантаження висуваються деякі гіпотези (теорії) міцності, сенс яких полягає в підборі деякої еквівалентної величини напруги, яка порівнюється з допускаються напругою. p> В даний час застосовують кілька теорій міцності:
. Еквівалентне напруження? Екв приймається рівним максимальному нормальній напрузі? Max, що не перевищує допустиме напруження [?]: br/>
.
2. Руйнування деталі відбувається в міру досягнення максимальних деформацій в матеріалі деталі:
