Установа освіти
Білоруський державний педагогічний університет імені Максима Танка
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу
Курсова робота
Завдання про траєкторії
Мінськ, 2 014
Зміст
Глава 1. Постановка завдання
Глава 2. Необхідні теоретичні відомості
.1 Завдання про траєкторії на площині у випадку декартових координат
.2 Ізогональние траєкторії сімейства
.3 Ортогональні траєкторії сімейства
Глава 3. Приклади розв'язання задач
Висновок
Список використаної літератури
Глава 1. Постановка завдання
Багато питання фізики, хімії, економіки, техніки, математики та інших областей знання зводяться до наступної задачі: знайти функцію f, маючи деякий рівняння, в яке крім цієї функції і аргументів, від яких вона залежить, входять також її похідні до деякого порядку включно. Такі рівняння називають диференціальнимирівняннями. Якщо шукана функція залежить лише від одного аргументу, рівняння називають звичайним диференціальним рівнянням. В іншому випадку його називають диференціальним рівнянням в приватних похідних.
Якщо позначити незалежне змінне, похідна по якому від шуканої функції входить до складу звичайного диференціального рівняння, через t , а цю шукану скалярну функцію через x (t) , то можна записати звичайне диференціальне рівняння у вигляді
F (t, x ,, ...,)=0 (1)
Порядок nЄN старшої похідної в (1) називають порядком диференціального рівняння.
Рішенням звичайного диференціального рівняння (1) в деякому проміжку TЄR називають n раз безперервно дифференцируемую в цьому проміжку функцію x (t), що задовольняє при будь-якому tЄT цьому рівнянню.
Диференціальні рівняння є одним з основних засобів для математичного вирішення практичних завдань.
Актуальність даної теми полягає в тому, що відшукання ортогональних траєкторій буває потрібно в задачах картографії, навігації і т. д. Ізогональние траєкторії меридіанів на сфері називають Локсодромія. Якщо пересуватися з фіксованим колійним кутом по Землі, яку умовно прийняти за сферу або еліпсоїд, то траєкторія руху об'єкта і буде Локсодромія. Локсодромія не є найкоротшим шляхом між двома пунктами (виняток - меридіани і екватор). Тим не менш, в старовину суду і мандрівники нерідко рухалися по локсодромії, оскільки йти під постійним кутом до Полярної зірки простіше і зручніше. З винаходом компаса мореплавці перейшли на рух по магнітним Локсодромія raquo ;, тобто по лініях з постійним кутом до магнітного північ, що дало можливість продовжувати рух і в хмарну погоду. Але як тільки були з'ясовані магнітні відмінювання у всіх місцях Землі, люди знову перейшли на звичайні локсодроми. Навіть у XX столітті локсодроми використовувалася при розрахунку необхідного курсу при прокладанні маршруту літаків і морських суден. З часом, коли з'явилися прилади з достатньою обчислювальною потужністю для обчислення поточного необхідного путнього кута, почали активно застосовувати ортодромії (найкоротший шлях), особливо для далеких маршрутів літаків.
Із завданням на відшукання ортогональних траєкторій ми зустрічаємося в механіці, коли потрібно знайти силові лінії поля.
Таким чином, у багатьох завданнях теоретичної механіки, геометричної оптики, картографії та інших областей науки виникає необхідність в знаходженні кривих з тих чи інших властивостям проведених до них дотичних. Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції дорівнює похідній цієї функції в точці дотику, такі завдання вирішуються звичайно за допомогою диференціальних рівнянь.
При вирішенні геометричних задач за допомогою диференціальних рівнянь рекомендується наступна послідовність дій:
1) Зробити креслення і ввести позначення.
2) Відокремити умови, що мають місце в довільній точці шуканої лінії, від умов, що виконуються лише в окремих точках, тобто початкових умов.
) Висловити всі згадані в задачі величини через координати довільної точки і через значення похідної в цій точці, враховуючи геометричний зміст похідної.
) За умовою задачі скласти диференціальне рівняння, якому задовольняє шукана крива.
) Знайти спільне рішення цього рівняння і отримати з нього за допомогою початкових умов рівняння шуканої лінії.
...
