>
визначена послідовністю (відновлюється з цієї послідовності), таким чином можна представити траєкторію як
.
На довільній траєкторії в момент t, еластичність y по x дорівнює відношенню частки капіталу до сумарної частки інших двох факторів:
. (7)
Дійсно,
В
отже
,
звідси
,
тобто
,
звідки слід (7).
У силу пропозиції 1, на збалансованої траєкторії величина
зберігається
На збалансованої траєкторії з постійними частками факторів має місце рівність
.
Вирішуючи це диференціальне рівняння, отримуємо
,
де - деякі функції. Звідси, аналогічно тому, як це зроблено в Jones, Scrimgeour, 2005 для двофакторної виробничої функції, можна отримати, що
.
Оскільки праця і використовувані природні ресурси входять у формулювання моделі симетрично, функція також сепарабельного, тобто
в–
Для функції Кобба-Дугласа
В
технічний прогрес можна трактувати як трудо-і ресурсозберігаючий одночасно, але ще і як тільки трудосберегающий, тільки ресурсозберігаючий, а також як капіталосберегающій або як збільшує TFP. p> Функція CES
В
володіє тим гідністю, що частки факторів на збалансованій траєкторії постійні, якщо прогрес є трудосберегающим і ресурсозберігаючими. Дійсно, нехай
,
Тоді частка праці на збалансованої траєкторії дорівнює
В
Аналогічно перевіряється сталість частки природних ресурсів на збалансованій траєкторії.
3. Темпи приросту на збалансованих траєкторіях
Нехай випуск описується виробничою функцією (1), і загальна продуктивність факторів A, праця L і використання природних ресурсів N змінюються постійними темпами, рівними, і, відповідно. Обчислимо темп приросту на збалансованій траєкторії. p> ПРОПОЗИЦІЯ 6. На будь збалансованої траєкторії
.
ДОКАЗ. Рівність між собою темпів приросту величин доведено в реченні 1. Запишемо виробничу функцію (1) в темпах приросту:
.
Звідси знаходимо в–
Наведемо також ДРУГЕ ДОКАЗ ПРОПОЗИЦІЇ 6. Слідуючи трехфакторной варіанту теореми Узави (Пропозицією 5), позначимо через і вносяться технічним прогресом добавки до темпів приросту праці та природних ресурсів, відповідно, які забезпечують рух по збалансованої траєкторії. Має місце система рівнянь:
В
Звідси знаходимо, а також
в–
У більш загальному випадку, коли - дифференцируемая виробнича функція з постійною віддачею від масштабу по перших трьох змінним, пропозиція 6 узагальнюється наступним чином. p> ПРОПОЗИЦІЯ 7. На будь збалансованої траєкторії
В
де темп технічного прогресу визначений як
В
частки ...
