ходить через точки А [a, f (a)] і B [b, f (b)]. В
f (b)
Оѕ
f (a)
0 x
Оѕ x 3 x 2 x 1 b = x 0 a = x 0 x 1 x 2 b
0 f (a) x
a
f (b)
В
Дійсно, рівняння хорди АВ має вигляд
При х = х 1 і y = 0, отримаємо
Вважаючи, що на відрізку [a, b] друга похідна f'' (x) зберігає постійний знак, метод хорд зводиться до двох різних варіантами.
З рис. 1 видно, що кінець а нерухомий і послідовні наближення: x 0 = b;
В
утворюють обмежену монотонно спадну послідовність, причому
З рис. 2 видно, що нерухомий кінець b і послідовні наближення: x 0 = a;
В
утворюють обмежену монотонно зростаючу послідовність, причому
Таким чином, для обчислення кореня рівняння маємо дві різні обчислювальні формули. За нерухомий кінець вибираємо той кінець, для якого знак функції f (x) збігається зі знаком другої похідної f'' (x).
Приклад. Знайти позитивний корінь рівняння з точністю до 0,002. p> Рішення. Насамперед відокремлюємо корінь. Так якВ і, то шуканий корінь лежить в інтервалі. Отриманий інтервал великий, тому розділимо його навпіл. Так як то. Послідовно застосовуючи формули, будемо мати:
В В В В В В
Так як і при маємо, то можна прийняти:
Таким чином,, де. Зауважимо, що точний корінь рівняння є. br/>
Метод Ньютона (метод дотичних)
В
Нехай корінь Оѕ рівняння f (x) = 0, відділений на відрізку [a, b], причому перша і друга похідні f '(x) і f'' (x) неперервні і зберігають певні знаки при. Знайшовши якесь n-е наближення кореня, ми можемо уточнити його по методу Ньютона наступним чином. Нехай Оѕ = x n + h n , де h n - величина мала. Звідси за формулою Тейлора отримаємо: f (x n + H n ) ≈ f (x n ) + h n f Вў (x n ) = 0. Отже,В . Підставивши отриманий вираз у формулу Оѕ = x n + h n , знайдемо наступне значення кореня:
Графічне знаходження кореня методом Ньютона (рис. 3).
В
Якщо в якості початкового наближення вибрати точку х 0 = В 0 , то процес швидко сходи...
