ться. Якщо ж вибрати точку х 0 = А, то х 1 [a, b], і процес знаходження кореня розходиться. Рекомендується: в якості х 0 вибирати таку точку, де f (x 0 ) f'' (x 0 )> 0.
Приклад. Обчислити методом Ньютона негативний корінь рівняння
з п'ятьма вірними знаками.
Рішення. Вважаючи в лівій частині рівняння отримаємо. Отже, шуканий корінь знаходиться в інтервалі. Звузимо знайдений інтервал. Так як то. У цьому останньому інтервалі і. Так як і, то можемо прийняти за початкове наближення. Послідовні наближення обчислюємо за наступною схемою:
В
0
-11
3453
-5183
0,7
1
-10,3
134,3
-4234
0,03
2
-10,27
37,8
-4196
0,009
3
-10,261
0,2
-
-
Зупиняючись на, перевіряємо знак значення. Так як, то, і будь-яке з цих чисел дає шукане наближення.
В
Метод ітерації
В
Замінимо рівняння f (x) = 0 еквівалентним x = П† (x). Виберемо деяке початкове наближення x 0 і обчислимо подальші наближення за формулами x 1 = П† (x 0 ), x 2 = П† (x 1 ), ..., x n = П† (x n -1 ). Якщо послідовність x n має межу, то ітераційний процес
x n = П† (x n -1 ) (n = 1, 2, ...) називається збіжним. Нехай функція П† (x) неперервна. Переходячи до межі у рівності x n = П† (x n -1 ), отримаємо
Отже, є коренем рівняння x = П† (x) і може бути обчислений за формулою x n = П† (x n -1 ) (n = 1, 2, ...) з будь-якою точністю. Для даного методу існують дві теореми:
Теорема 1. Нехай корінь рівняння x = П† (x), а також його послідовні наближення x 0 , x n = П† (x n - 1 ) (n = 1, 2, ...) містяться в інтервалі [a, b] і на [a, b]. Тоді справедливі твердження:
ітераційний процес x n = П† (x n -1 ) сходиться до кореня рівняння ;
;
