неніе1. Нехай
,,
,,
Це перевіряється прямим обчисленням
Теорема (1)
Нехай матриця з має блоки, де матриця,, і матриця з с блоками розміру. Тоді має блоки
Доказ. Зазначимо, що кожен твір існує і є матрицею. Отже, існує і буде матрицею. Для фіксованого кожне має стовпців і для фіксованого кожне має рядків, звідки слід, що блоки деякої матриці.
Нехай деякий елемент матриці, розташований у клітці блоку. Так як, є сума елементів в клітинах і матриць,. Але елемент матриці в клітці є сумою добутків елементів у рядку матриці на елементи шпальти матриці. Далі, елементи рядка матриці збігаються з деякими елементами рядка в, а саме, з, де індекс визначається нерівностями
, якщо
, якщо
Елементи шпальти матриці будуть елементами в. Отже,
Ми визначили мінори порядку для визначника. У загальному випадку, якщо з-матриці викинути всі рядка, крім рядків, і все стовпці, крім стовпців, то визначник отриманої в результаті матриці називається мінором матриці порядку, то
Мінори, для яких, називаються головними для матриці. Якщо - матриця, то і алгебраїчне доповнення, наприклад, є
Якщо квадратна матриця є твором деяких матриць (які можуть бути прямокутними), то іноді важливо висловити визначник твори в термінах властивостей співмножників. Наступна теорема - потужний результат цього роду.
В§ 7 Теорема (формула Біне-Коші) h2> Теорема (формула Біне-Коші)
Нехай, - і-матриці відповідно, і
Тоді
Іншими словами, при визначник матриці є сумою добутків всіляких миноров порядку в на відповідні мінори матриці того ж самого порядку.
Упражненіе1. Покажемо на прикладі
Нехай,, і, тоді по формулою Коші-Біне:
Доказ теореми:
Так як, то можна записати
Визначник-це адитивна і однорідна функція кожного зі своїх стовпців. Використовуючи цей факт для кожного з стовпців в, висловлюємо у вигляді суми визначників:
Ті члени в підсумовуванні, які мають збіжні два або більше індексів, дорівнюють нулю, так як в цих випадках мінори будуть мати принаймні два співпадаючих шпальти. Таким чином, потрібно розглядати тільки ті членів підсумовування, в яких індекси різні. Ми розподіляємо ці залишаються члени на груп по членів в кожній таким чином, щоб у кожній групі члени відрізняються лише порядком індексів. Зазначимо також, що можна написати
, де. Отже, сума по членах, в яких-перестановка чисел, задається виразом:
Переставляючи елементи так, щоб перші індекси в зростаючому порядку, наводимо цей вираз до виду:
де-перестановка чисел, як очевидно. З визначника функції визначника тепер слід, що цей вираз є просто:
Слідство. Визначник добутку двох кратних матриць дорівнює добутку визначник множників. p> Це випливає з Теореми при
Висновок p> У даній роботі розглянута основна теорія матриц...
