justify"> b .
Якщо a 1 2 =-a 2 , то заміною (x, y) В® (x, y + a 1 x + a 3 ) крива перетвориться до виду
Y 2 = X 3 + aX + b (7)
Такі криві називаються суперсінгулярнимі і мають дискримінант, рівний D (E) =-а 3 .
Група точок еліптичної кривої
На безлічі E (F) , що складається з точок еліптичної кривої (1) і ще одного елемента - нескінченно віддаленої точки кривої O (формально поки що не є точкою кривої), можна визначити операцію, що володіє властивостями операції абелевої групи.
Прийнято виходить при цьому групу розглядати як адитивну групу, а операцію називати операцією складання і позначати, як зазвичай, знаком плюс. p align="justify"> Згадана додаткова точка O грає роль нейтрального елемента (в адитивної записи нуля) цієї групи.
За визначенням, вважаємо для будь-якої точки (x, y) ГЋ E (F)
(x, y) + O = O + (x, y) = (x, y); + O = O;
Щоб визначити в загальному випадку операцію складання абелевої групи, спочатку покажемо, що кожній точці (x, y) еліптичної кривої можна зіставити в певному сенсі симетричну точку (далі буде ясно, що така точка та буде точкою - (x, y) , протилежній до (x, y) точкою в групі даної кривої). Зауважимо, що разом з точкою (x, y) крива має і точку
(x, y ) = (x,-a 1 x - a 3 - y) ;
Переконатися в цьому можна, підставивши X = x і Y =-a 1
