y"> x - a 3 - y , і враховуючи, що при X = x і Y = y має місце рівність. Симетричність проявляється в тому, що по тому ж правилу точці (x, y ) відповідає вихідна точка (x, y) , тому що має місце інволютивними закон:
(x, y) = (x, y ) .
Якщо крива E має вигляд (2), то
(x, y ) = (x,-y)
В
Зокрема, для еліптичних кривих над полем дійсних чисел, точки (x, y) і (x,-y) розташовуються на прямій Y = x симетрично щодо осі абсцис, як показано на малюнку.
Для суперсінгулярних і несуперсінгулярних кривих характеристики 2 симетрична точка (x, y ) визначається відповідно рівняннями (x, y < i align = "justify">) = (x, y +1) і (x, y < i align = "justify">) = (x, x + y) .
Покладається, що (x, y) + (x, y ) = O і (x, y ) позначається < i align = "justify"> - (x, y). Таким чином, безліч E (F) задовольняє двом аксіомам групи (існує нульовий елемент і кожному елементу відповідає протилежний елемент).
Таким чином, операція складання визначена, коли одна з точок дорівнює O або коли складаються протилежні точки.
Для двох точок (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) , таких, що x 1 ? x 2 або x 1 = x 2 , y
