знаменнику (1.13) дорівнює нулю тільки при збігу частот , т. е . у разі резонансу. При відносний фазовий зсув , як це випливає з (1.14), дорівнює нулю при і при ; іншими словами, вимушене коливання синфазно з зовнішньою силою, якщо власна резонансна частота більше, ніж частота зовнішньої сили, і зрушено по фазі на 180 В°, коли . Для і (нерезонансний випадок) з (1.12) виходить рішення
. (1.15)
Для (випадок резонансу) рішення (1.2) стає таким:
. (1.16)
Зазначимо, що рух, викликане зовнішньою силою, більше не є періодичним, але осцилює з амплітудою , яка лінійно зростає з часом. І в електричних, і в механічних системах, наприклад в обертових механізмах або таких виробах, як керовані снаряди, часто життєво необхідно спроектувати частини машини так, щоб уникнути резонансу з можливими періодичними впливами на систему.
Коли є демпфірування , з (1.13) ясно, що амплітуда відгуку завжди кінцева. Тим не менеефізік зазвичай повинен дослідити амплітуду вимушеного коливання, так як В«струна може лопнутиВ», якщо занадто велике. З (1.3) і (1.13) легко отримати нормований відгук
.
В
Рис. 1.1 Резонансні криві вимушених коливань лінійної системи. p align="justify"> Екстремальні значення досягаються при і . Якщо , максимум має місце при ; якщо і < span align = "justify">, максимум досягається при , а мінімум при . При малих значеннях коефіцієнта демпфірування максимальна амплітуда досягається майже на власній частоті. На рис. 1.1 показана частотна характеристика як функція при різних значеннях . Очевидно, що ці криві визначають амплітуду коливань, або відгук системи на зовнішню силу будь-якої заданої частоти.
На закінчення цього розділу сформулюємо принцип суперпозиції, який говорить: якщо під дією зовнішньої сили лінійна сістемаімеет відгук , а під впливом -
