ають знову і не зникають, тому число при такому переході не змінюється.
Нехай, з іншого боку, буде коренем самого даного многочлена. За умовою 1) нічого очікувати коренем для. Отже, існує таке позитивне число, що відрізок не містить коренів многочлена, тому зберігає на цьому відрізку постійний знак. Якщо цей знак позитивний, то зважаючи умови 4) сам многочлен при переході через змінює знак з мінуса на плюс, тобто ,. p> Системам чисел
і (4)
відповідають системи знаків
І,
тобто в системі Штурма втрачається одна зміна. Якщо ж знак на відрізку від'ємний, то знову, зважаючи умови 4), многочлен змінює знак з плюса на мінус при переході через, тобто ,; Система чисел (4) відповідає тепер системи знаків
І,
тобто в системі Штурма знову втрачається одна зміна.
Таким чином, число змінюється (при зростанні) лише при переході через корінь многочлена, причому в цьому випадку воно зменшується рівно на одиницю.
Ми довели теорему Штурма, але нам потрібно ще показати, що всякий многочлен з дійсними коефіцієнтами, що не має кратних коренів, володіє системою Штурма.
Покладемо, чим забезпечується виконання умови 4) з визначення системи Штурма. Дійсно, якщо-дійсний корінь многочлена, то. Якщо, то в околиці точки, тому змінює знак з мінуса на плюс при переході через; це ж вірно тоді і для твору. Аналогічні міркування проходять і в разі. Ділимо потім на і залишок від цього поділу, узятий з оберненим знаком, приймаємо за:
.
Взагалі, якщо многочлени і, вже знайдені, то буде залишком від ділення на, узятий з оберненим знаком:
. (5)
Так знаходиться система Штурма.
Розглянемо приклад.
В
Ми не будемо попередньо перевіряти, що не має кратних коренів, так як метод побудови системи Штурма, викладений вище, одночасно служить для перевірки взаємної простоти многочлена і його похідної.
Знайдемо систему Штурма для, застосовуючи зазначений метод.
В В В В
Визначимо знаки многочленів цієї системи при і при (слід дивитися лише на знаки старших коефіцієнтів і на ступені цих многочленів). Отримаємо таку таблицю:
Число змін знаків - + - +3 + + + +0
Многочлен має трьома дійсними коренями. Для більш точного визначення положення цих коренів продовжимо попередню таблицю:
Число змін знаків - + - +3 0 + - +2 + - + +2 - + +1 - - + +1 - + +1 - + +1 - + + +1 - + + +1
