="justify"> + + + +0
Таким чином, система Штурма многочлена втрачає по одній зміні знаків при переході від -3 до -2, від -1 до 0 і від 5 до 6. Отже, коріння цього многочлена задовольняють нерівності:
,,
4. Наближене обчислення коренів полінома
теорема корінь поліном мінлива
Метод безперервних дробів. p> Нехай для полінома відомо, що він має один простий корінь в інтервалі. Розкладемо по ступенях:. Ми знаємо, що лежить в інтервалі (0, 1). Зробимо інверсію цього інтервалу, за допомогою заміни і помножимо на. Отримаємо. На цьому етапі коефіцієнти не змінюються, але тільки записуються у зворотному порядку. Корінь побудованого полінома лежить в інтервалі (1, +?). Укладемо його між двома сусідніми цілими числами,, і повторимо процес. Нехай,, і. Тоді для кореня буде
В
причому відомо, що. Замінюючи на і та враховуючи характер зміни при цих замінах (замінюючи на, ми збільшуємо, зменшуємо і збільшуємо; замінюючи на, ми зменшуємо), отримаємо кордони для:
.
Вирази, яких тут беруть участь, носять назву безперервних дробів.
Застосуємо метод безперервних дробів до уточнення значення кореня полінома,. Розкладемо поліном за ступенями. Тобто . Вирішимо систему:
В
Отримаємо. Тепер робимо заміну і множимо на. Отримаємо. Корінь цього полінома укладено в інтервалі (1, 2). Розкладання по ступенях дає. Заміна і множення на дає. Корінь цього полінома лежить в інтервалі (2, 3). p> Розкладемо по ступенях. Отримаємо, після заміни і множення на отримаємо і для кореня цього полінома. br/>
Отже:.
Розглянемо ще один метод.
Метод Ньютона. p> Цей метод заснований на В«основному принципі диференціального численняВ», який полягає в тому, що графік будь-якої В«пристойноїВ» функції на малому проміжку зміни незалежної змінної мало відрізняється від прямої, саме, дотичної в одній з точок.
Нехай - корінь двічі диференціюється і - досить хороше наближення до кореня. Тоді має місце наближена рівність
В
для всіх, досить близьких до. Вважаючи, отримаємо
,
звідки для отримуємо наближене значення
.
Взагалі кажучи, повинно бути кращим наближенням до, ніж вихідне наближення.
За наближенню ми можемо знайти наближення за формулою
В
і т.д. Якщо послідовність сходиться, то вона сходиться до кореня полінома. Дійсно, нехай при. Переходячи до межі у рівності
,
Отримаємо
,
звідки.
Для того щоб з'ясувати, наскільки близько до повинне підходити вихідне наближення, зробимо оцінку, враховуючи похибку вихідного наближеної рівності, для чого розглянемо формулу Тейлора із залишковим членом в інтегральній формі:
,
або, після підстановки в інтегралі
.
Поклавши, отримаємо
.
