статечні суми:
(xk) = 0 (xky0z0) = xk + yk + zk = sk.
Нарешті, якщо k = l = m, то орбіта є одночленная:
(xkykzk) = xkykzk.
Тепер покажемо, що орбіта будь-якого Одночлен виражається через і статечні суми. А так як будь-яка статечна сума виражається через,,, то звідси буде випливати, що орбіта будь-якого Одночлен виражається через,,. Це буде другим кроком у доведенні основної теореми. p> Якщо Одночлен xkylzm залежить тільки від одного змінного x (тобто l = m = 0), наше твердження очевидно: у цьому випадку орбіта 0 (xk) = sk сама є статечної сумою.
Перейдемо до випадку, коли Одночлен залежить від двох змінних, тобто має вигляд xkyl. Якщо kl, то має місце формула
0 (xkyl) = 0 (xk) 0 (xl) -0 (xk + l) (kl). (2)
Справді,
(xk) 0 (xl) -0 (xk + l) = (xk + yk + zk) (xl + yl + zl) - (xk + l + yk + l + zk + l) =
= (xk + l + yk + l + zk + l + xkyl + xlyk + xkzl + xlzk + ykzl + ylzk) - (xk + l + yk + l + zk + l) =
= xkyl + xlyk + xkzl + xlzk + ykzl + ylzk = 0 (xkyl).
Якщо ж k = l, то формула (2) замінюється наступною:
(xkyk) = ((0 (xk)) 2-0 (x2k). (3)
Справедливість формули (3) також встановлюється безпосередньою перевіркою.
Нарешті, якщо Одночлен xkylzm залежить від усіх трьох змінних x, y, z, то Одночлен xkylzm ділиться на деяку ступінь Одночлен xyz. Тому в многочлене 0 (xkylzm) можна винести за дужки деяку ступінь Одночлен xyz, після чого залишиться в дужках орбіта деякого Одночлен, залежного менше ніж від трьох змінних x, y, z. Наприклад,
(x2y3z4) = x2y3z4 + x2y4z3 + x3y2z4 + x3y4z2 + x4y2z3 + x4y3z2 =
(xyz) 2 В· (yz2 + y2z + xz2 + xy2 + x2z + x2y) = (xyz) 2 В· 0 (x2z),
(x3y5z5) = x3y5z5 + x5y3z5 + x5y5z3 = (xyz) 3 В· (y2z2 + x2z2 + x2y2) = (xyz) 3.0 (x2y2)
і т. п. Взагалі, якщо, наприклад, km, lm, то
(xkylzm) = (xyz) m В· 0 (xk-myl-m) = В· 0 (xk-myl-m). (4)
Отже, якщо Одночлен xkylzm залежить тільки від одного змінного, то орбіта 0 (xkylzm) є статечної сумою; якщо він залежить від двох змінних, то орбіта 0 (xkylzm) виражається через статечні суми; нарешті, випадок, коли цей Одночлен залежить від усіх трьох змінних x, y, z, зводиться до попередніх, якщо в многочлене 0 (xkylzm) винести за дужки загальний множник всіх його членів. Легко бачити, що орбіта будь-якого Одночлен виражається через і статечні суми. p> Наведене вище доказ також конструктивно: ми не тільки довели можливість висловити кожну орбіту Одночлен через,,, а й отримали цілком певний алгоритм, що дозволяє для будь конкретно заданої орбіти знайти її вираження через,,. Основою цього алгоритму служать формули (2), (3), (4) і знайдене раніше вираз статечних сум через,,. p> Наприклад,
(x2y2) = (0 (x2) 2-0 (x4)) = (s22-s4) = (() 2 - () = -2 (тут ми застосували формулу (3));
0 (x4y2z) = В· 0 (x3y) = (0 (x3) 0 (x) -...
