0 (x4)) = (s3s1-s4) =
= (() - ()) = ()
(застосовані формули (2) і (4)).
У таблиці 2 наведені вирази деяких орбіт 0 (xkyl) через,,.
Таблиця 2
Вирази орбіт 0 (xkyl) через,,
0 (xy) 0 ( x ВІ y) 0 ( x Ві y) 0 ( x ВІ y ВІ) 0 (x 4 y) 0 ( x Ві y ВІ) 0 (x 5 y) 0 (x 4 y < span align = "justify"> 2 ) 0 ( x Ві y Ві)
Доказ основної теореми
Тепер неважко завершити доведення основної теореми.
Нехай ? ( x, y, z) - симметрический многочлен і аx k y l z m - одне з його доданків. У силу симетричності многочлена ? ( x, y, z), він містить разом з цим доданком і всю орбіту 0 (x k y l z m ), взяту з коефіцієнтом а. Таким чином,
? ( x, y, z) = а В· 0 (x k y l z m < span align = "justify">) +? 1 (x, y, z),
де ? 1 (x, y, z) - деякий многочлен, який, симетричний і містить менше членів, ніж ? ( x, y, z). З ? 1 (x, y, z) можна також виділити орбіту одного з його членів і так далі Після кінцевого числа кроків ми розкладемо багаточлен ? ( x, y, z) на суму орбіт окремих одночленів.
Отже,
Будь симметрический многочлен ? ( ...
