ти точки М, що ділить відрізок М1М2 щодо, знаходять за формулами:
,,
де т. М1 (х1, у1, z1), т. М2 (х2, у2, z2), т. М (х, у, z).
Координати середини відрізка отримують при:
В
Наприклад, якщо т. А (-2, 3, 4), т. В (0, 1, -2), то координати середини відрізка АВ отримаємо з формул:
В В
z =
Отже, точка С (-1, 2, 1) є серединою відрізка АВ.
. Кут між векторами обчислюється за формулою
cos.
. Умова перпендикулярності двох векторів: х1 Г— х2 + у1 Г— у2 + z1 Г— z2 = 0. p>. Умова коллинеарности двох векторів:
Якщо вектори колінеарні, то їх відповідні координати пропорційні.
Приклад № 1.
Дано три вершини паралелограма: А (4, 2), В (5, 7), С (-3; 4). Знайти четверту вершину D, протилежну вершині В.
В
Рис.
Для вирішення цього завдання скористаємося властивістю діагоналей паралелограма: діагоналі його, перетинаючись, діляться точкою перетину навпіл.
Нехай точка М - точка перетину діагоналей паралелограма АВСD.
Тоді точка М - середина відрізка АС; координати точки М знайдемо з формул:
В
Отже, т. М (.
Але точка М є серединою і відрізка ВD. Тому вірні рівності:
і.
;.
З цих рівностей знаходимо координати вершини D (-4, -1).
Перевірити правильність рішення можна, побудувавши всі вершини паралелограма.
В
Рис.
В
Рис.
Приклад № 2.
Знайти центр ваги трикутника, знаючи координати його вершин: А (1, 4), В (-5; 0), С (-2; -1). Центр ваги трикутника лежить в точці перетину медіан, яка ділить відрізок будь медіани у відношенні 2:1, рахуючи від вершини. p> Точка М ділить відрізок СD щодо = 2, а точка D - середина сторони АВ. ; p> Середина боку АВ - точка D (-2, 2). Координати точки М знайдемо, розглядаючи відрізок СD. p align="justify"> Отже, центр ваги трикутника лежить в точці М (-2,1).
Побудуємо всі крапки і переконаємося, що рішення вірно.
В
Рис.
Приклад № 3.
Перевірити, що чотирикутник, вершини якого знаходяться в точках А (5; 2; 6 ;), В (6; 4, 4), С (4; 3, 2) і D (3; 1, 4), є квадрат.
Квадратом є чотирикутник, у якого сторони взаємно перпендикулярні і довжини сторін рівні.
Запишемо координати векторів, збігаються зі сторонами:
= (6-5; 4-2; 4-6) = (1; 2; -2)
= (4-6; 3-4; 2-4) = (-2; -1; -2)
= (3-4; 1-3; 4-2) = (-1; -2, 2)
= (5-3; 2-1; 6-4) = (2, 1, 2)
Перевіримо, чи виконується умова перпендикулярності для кожної пари суміжних сторін-векторів.
= 1 Г— (-2) +2 Г— (-1) + (-2) Г— (-2) = -2-2 +4 = 0, що й доводить, що ^.
= (-2) Г— (-1) + (-1) Г— (-2) + (-2) Г— 2 = 2 +2-4 = 0, тобто ^.
= ...
