ify"> Теорема. У довільній матриці А кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базисний мінор. p align="justify"> Таким чином, ранг довільній матриці А дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпців) в матриці.
Якщо А-квадратна матриця і detA = 0, то принаймні один з стовпців - лінійна комбінація інших стовпців. Те ж саме справедливо і для рядків. Дане твердження випливає з властивості лінійної залежності при визначнику рівному нулю. br/>
Матричний метод рішення систем лінійних рівнянь
Матричний метод можна застосовувати до вирішення систем рівнянь, де число рівнянь дорівнює числу невідомих.
Метод зручний для вирішення систем невисокого порядку.
Метод заснований на застосуванні властивостей множення матриць.
Нехай дана система рівнянь:
В
Складемо матриці: A =; B =; X =.
Систему рівнянь можна записати: A Г— X = B.
Зробимо наступне перетворення: A-1 Г— A Г— X = A-1 Г— B,
тому А-1 Г— А = Е, то Е Г— Х = А-1 Г— В
Х = А-1 Г— В
Для застосування даного методу необхідно знаходити зворотну матрицю, що може бути пов'язано з обчислювальними труднощами при вирішенні систем високого порядку.
Приклад. Вирішити систему рівнянь:
В
Х =, B =, A =
Знайдемо зворотну матрицю А-1.
D = det A = 5 (4-9) + 1 (2 - 12) - 1 (3 - 8) = -25 - 10 +5 = -30.
11 == -5; M21 == 1; M31 == -1; 12 = M22 = M32 = 13 = M23 = M33 =
A-1 =;
Зробити перевірку:
Г— A-1 == E.
Знаходимо матрицю Х.
Х == А-1В = Г— =.
Разом рішення системи: x = 1; y = 2; z = 3.
Незважаючи на обмеження можливості застосування даного методу і складність обчислень при великих значеннях коефіцієнтів, а також систем високого порядку, метод може бути легко реалізований на ЕОМ.
Метод Крамера
Даний метод також застосуємо тільки у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається з числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійної комбінацією інших.
Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0. det A В№ 0;
Дійсно, якщо яке-або рівняння системи є лінійна комбінація інших, то якщо до елементів будь-або рядка додати елементи іншого, помножені на яке-або число, за допомогою лінійних перетворень можна отримати нульову рядок. Визначник в цьому випадку буде дорівнює нулю. br/>
Теорема. (Правило Крамера)
Теорема. Система з...
