ожливість оцінити стійкість нелінійних систем, визначити амплітуду і частоту автоколивань. p> При застосуванні методу гармонійної лінеаризації передбачається, що в системі існують автоколивання, а передавальна функція лінійної частини є фільтром низьких частот.
Знайдемо частоту і амплітуду автоколивань, використовуючи критерій Михайлова.
Запишемо характеристичне рівняння линеаризованной системи:
Wл.ч. = (S) = A (s) + B (s) q (a) (s) = 25,94 s4 +159,8 s3 +232,6 s2 +34,05 s +1 + (5,37 s +3,22) q (a);
Зробивши заміну s на jw отримаємо:
(jw) = 25,94 w4 - j159, 8 w3 - 232,6 w2 + j34, 5w +1 + j5, 37wq (a) + 3,22 q (a);
Виділимо дійсну та уявну частини і прирівняємо їх до 0:
В
Висловимо з першого рівняння q (a):
(a) = -8,05 w4 + 72,3 w2-0, 31
Підставимо знайдене значення в 2-е рівняння:
, 8w3 + 35,4 w + 5,37 w (-8,05 w4 + 72,3 w2-0, 31) = 0
Спрощуючи даний вираз отримаємо біквадратне рівняння:
, 23w4 + 228,45 w2 +33,74 = 0;
Зробивши заміну w2 на х вирішимо дане рівняння:
х1 = -0,14; х2 = 5,43
Так як необхідні тільки дійсні та позитивні значення w перший корінь відкидаємо. У результаті отримаємо:
= 2,33 c-1
Знаючи w знайдемо q (a)
(a) = -8,05 w4 + 72,3 w2-0, 31 (a) = 154,94
оскільки q (a) = а = 0,28
Графічна перевірка даного рішення:
В В
В
Рис. 18
В
Рис. 19 - Графік перетину 2-ч кривих
З графіка видно, що точка перетину цих кривих має координати (0,32; 159,94) означає знайдене рішення вірне.
Перевіримо систему на стійкість за критерієм Михайлова.
Приймемо прирощення амплітуди:? а = 0,02
Тоді коефіцієнти гармонійної лінеаризації рівні:
В В В
Побудуємо годографи Михайлова за допомогою бібліотеки Control System Toolbox:
>> w = 0:0.01:5
>> q = 154,94
>> X = 25.94 * w. ^ 4-232.6 * w. ^ 2 +1 +3.22 * q
>> Y = -159.8 * w. ^ 3 +34.5 * w +5.37 * w * q
>> q1 = 151.6
>> X1 = 25.94 * w. ^ 4-232.6 * w. ^ 2 +1 +3.22 * q1
>> Y1 = -159.8 * w. ^ 3 +34.5 * w +5.37 * w * q1
>> q2 = 174.9
>> X2 = 25.94 * w. ^ 4-232.6 * w. ^ 2 +1 +3.22 * q2
>> Y2 = -159.8 * w. ^ 3 +34.5 * w +5.37 * w * q2
>> plot (X, Y, X1, Y1, '+', X2, Y2, 'b *')
>> grid
- плюсики +
- зірочки *
В
Рис. 20 - годографом Михайлова при позитивному і негативному прирості амплітуди автоколивань
В
Рис. 21 - годографом Михайлова при позитивному і негативному прирості амплітуди автоколивань
В
Рис. 22 - годографом Михайлова при позитивному і негативному прирості амплітуди автоколивань
Система стійка у великому тому при позитивному прирості амплітуди годограф Михайлова проходи...
