(t), I ф n (t), L (t), D (t), a (t) і w (t), де t = 1, ..., T, і завдання (11) вирішується за умов (7), (10) і
(12) I c n (t) I ф n (t) = 0,
то є неможливе існування на одній ділянці в один момент часу і власного і франчайзингового підприємств.
У припущенні, що франчайзер бере максимально можливий кредит і тримає допустимий мінімум ліквідних коштів, так як у них низька прибутковість, нерівності (10) замінюються на рівності, з яких знаходяться L (t) і D (t), і умова (7) неотрицательности L (t) опускається. При цьому набір змінних, визначають стратегію, зменшується до Y '= {I c n (t), I ф n (t) , a (t), w (t)}.
Але навіть у цьому випадку через велику розмірності задачі і складності вираження деяких змінних через основні завдання залишається занадто складною, і така модель дозволяє тільки проілюструвати механізм функціонування франчайзингової системи, тому нижче для конкретних розрахунків виробляються подальші спрощення.
Наприклад, при визначенні оптимальних рекламних витрат можна вирішувати таку задачу. Нехай x (t) - прибуток без урахування витрат на рекламу, u (t) - витрати на рекламу (u (t) Ві 0 - управління у розглянутій задачі). Тоді прибуток p (t) = x (t) - u (t). Так як x (t) - це прибуток отримується в момент t в відсутність реклами, то, знаючи потік прибутку в початковий момент без використання реклами p 0 , можна отримати початкове значення x (0) = p 0 .
В якості критерію розумно взяти дисконтовану прибуток за весь період планування T, то є
(13) , br/>
де n - коефіцієнт дисконтування.
Припустимо, що без реклами потік прибутку експоненціально зменшується з коефіцієнтом загасання k. Так як граничний ефект від реклами падає при збільшенні витрат на неї, то цю залежність можна апроксимувати, наприклад, степеневою функцією bu a (0
(14) . br/>
гамільтоніана задачі (13), (14)
H (x, u, p, t) = (Xu) e -nt + p (bu a - kx). p> З рівнянь Гамільтона отримуємо:
.
Вирішуючи це рівняння з урахуванням умови p (T) = 0, знаходимо
(15) p (t) = [e -nt - e -k (Tt) + kt ]/(k + n).
За принципом максимуму Понтрягіна u (t) повинна в кожній точці оптимальної траєкторії доставляти максимум функції Гамільтона, тому оптимальне управління знаходиться з умови
- e -Nt + apbu a -1 = 0,
то є
.
Використовуючи формулу (15), отримуємо, що оптимальні витрати на рекламу рівні
.
Видно, що витрати на рекламу з часом зменшуються, звертаючись в нуль в кінці періоду планування.
На рекламні витрати розумно накласти умова u (t) ВЈ u max (t), пов'язане з обмеженістю фінансових ресурсів. Тоді реальні витрати на рекламу будуть визначатися за правилом
u опт (t) = Min {u * (t), u max (t)}. br/>
У граничному випадку, якщо планування здійснюється на дуже тривалий період (при цьому можна вважати
T = ВҐ), u опт (t) Вє. br/>
У цьому випадку
x опт (t) Вє. br/>
На нескінченності частка рекламних витрат у чистому доході
.
Аналогічний підхід застосуємо при плануванні витрат франчайзера на дослідження.
Далі, визначившись з витратами на рекламу і дослідження, франчайзер виробляє стратегію розширення мережі.
Припустимо, що ринок може бути розділений між власними і франчайзинговими підприємствами розглянутої системи в будь-якій пропорції, а час t безперервно.
Нехай P c (t) Ві 0 і P Ф (t) Ві 0 - частка ринку, охоплена власними і франчайзинговими підприємствами, причому виконується умова P C (t) + P Ф (t) ВЈ 1.
Тут під охопленням ринку увазі територіальне охоплення.
Франчайзер максимізує свій прибуток:
,
де Y (t) - потік його прибутку. Будемо вважати тут, що прибуток від власної і дохід франчайзингової одиниці не залежать від часу і дорівнюють p з і p ф відповідно.
Для простоти покладемо, що ліквідні кошти франчайзера D (t) не приносять доходу.
Потік інвестицій франчайзера в розвиток мережі
(16) , br/>
де Z і E оп ределяются поза моделлю, а в E враховується оптимальний вступний внесок, розрахований для випадку одного франчайзингового підприємства. Будемо вважати, що франчайзер може, в принципі, ліквідовувати підприємства мережі, повернувши без втрат ...
