lign="justify">) з урахуванням граничних умов встановлюються значення шуканого рішення в граничних вузлах області Аs.
В
Рис. 1.7. Побудова сіткової області
Вирішуючи отриману систему звичайно-різницевих рівнянь алгебри, отримаємо значення шуканої функції у вузлах сітки Аs, тобто наближене чисельне рішення крайової задачі. Вибір сіткової області Аs залежить від конкретного завдання, але завжди треба прагнути до того, щоб контур сіткової області Аs найкращим чином апроксимувати контур області А.
Розглянемо рівняння Лапласа
(1)
де p (x, y) - шукана функція, x, y - прямокутні координати плоскою області і отримаємо відповідне йому звичайно-різницеве ​​рівняння.
Замінимо приватні похідні і в рівнянні (1) звичайно-різницевими відносинами:
(2)
(3)
Тоді вирішуючи рівняння (1) щодо , отримаємо:
, (4)
Задавши значення функції в граничних вузлах контуру сіткової області Аs відповідно з граничними умовами і вирішуючи отриману систему рівнянь (4) для кожного вузла сітки, отримаємо чисельне рішення крайової задачі ( 1) у заданій області А.
Ясно, що число рівнянь виду (4) дорівнює кількості вузлів сіткової області Аs, і чим більше вузлів (тобто чим дрібніше сітка), тим менше похибка обчислень. Однак треба пам'ятати, що із зменшенням кроку s зростає розмірність системи рівнянь і отже, час рішення. Тому спочатку рекомендується виконати пробні обчислення з досить великим кроком s, оцінити отриману похибка обчислень, і лише потім перейти до більш дрібній сітці у всій області або в якійсь її частині. p align="justify"> Порівняння методу кінцевих різниць і методу скінченних елементів
Обидва методи відносяться до класу сіткових методів наближеного розв'язання крайових задач. З точки зору теоритических оцінок точності методи володіють приблизно рівними можливостями. Залежно від форми області, крайових умов, коефіцієнтів вихідного рівняння обидва методи мають похибки апроксимації від першого до четвертого порядку щодо кроки. У силу цього вони успішно використовуються для розробки програмних комплексів автоматизованого проектування технічних об'єктів. p align="justify"> Методи кінцевих елементів і кінцевих різниць мають ряд істотних відмінностей. Перш за все, методи різні в тому, що в методі кінцевих різниць апроксимується похідні шуканих функцій, а метод кінцевих елементів - саме рішення, тобто залежність шуканих функцій від прост...
