рівняння системи у вигляді
D (p) = a 0 p n + a < i> 1 p n- 1 + ... a n = 0 . (2.9.3)
За Стодолі для стійкості необхідно, але недостатньо, щоб пpи a 0 > 0 всі інші коефіцієнти були строго позитивні, тобто
a 1 > 0 , ..., a n > 0.
Необхідність можна сформувати так:
Якщо система стійка, то всі корені характеристичного рівняння мають, тобто є лівими.
Доказ необхідності елементарне. За теоремою Безу характеристичний поліном можна представити у вигляді
.
Нехай, т.е дійсне число, а - комплексно-зв'язані коріння. Тоді
...
Звідси видно, що у випадку полінома з дійсними коефіцієнтами комплексне коріння попарно-зв'язані. При цьому, якщо,, то маємо твір многочленів з позитивними коефіцієнтами, яке дає многочлен тільки з позитивними коефіцієнтами. p> Недостатність умови Стодоли полягає в тому, що умова не гарантує, що всі. У цьому можна переконатися на конкретному прикладі, розглянувши поліном ступеня. p> Зауважимо, що в разі умова Стодоли одночасно необхідно і достатньо. З витікає. Якщо, то і, щоб. p> Для з аналізу формули коренів квадратного рівняння також випливає достатність умови.
З умови Стодоли випливає два важливих наслідки.
1. Якщо умова виконується, а система нестійка, то перехідний процес має коливальний характер. Це випливає з того, що рівняння з позитивними коефіцієнтами не може мати дійсних позитивних коренів. За визначенням корінь - це число, що звертає характеристичний поліном в нуль. Ніяке позитивне число не може перетворити на нуль многочлен з позитивними коефіцієнтами, тобто бути його коренем. p> 2. Позитивність коефіцієнтів характеристичного полінома (відповідно виконання умови Стодоли) забезпечується у разі негативного зворотного зв'язку, тобто у разі непарного числа інверсій сигналу по замкнутому контуру. У цьому випадку характеристичний поліном. В іншому випадку мали і після приведення подібних деякі коефіцієнти могли виявитися негативними. p> Зауважимо, що негативний зворотний зв'язок не виключає можливості невиконання умови Стодоли. Наприклад, якщо, а, то у випадку одиничної негативного зворотного зв'язку. У даному поліномі коефіцієнт при дорівнює нулю. Негативних коефіцієнтів немає, але, тим не менш, умова не виконується, оскільки воно вимагає строго виконання нерівностей. p> Це підтверджує і наступний приклад.
Приклад 2.9.1. Застосувати умова Стодоли до схеми рис. 2.9.2. br/>В
Передавальна функція розімкнутої по ланцюгу одиничної негативного зворотного зв'язку системи дорівнює і характеристичне рівняння замкнутої системи є сума чисельника і знаменника, тобто
(p) = p 2 + k 1 k 2 =
