основі моделювання будь-яких реальних біологічних процесів. Багатство динамічної поведінки модельних траєкторій різницевих рівнянь є основою їх успішного застосування для опису складних природних явищ. При цьому обмеженість параметричних областей існування певного типу режимів служить додатковою підставою для оцінки адекватності пропонованої моделі.
Ще більш цікаві математичні об'єкти виходять, якщо переписати рівняння (3) у вигляді:
(4)
і розглядати константу з в комплексній області. При цьому виходять об'єкти, звані множинами Мандельброт а Детальніше про ці множинах можна прочитати в книзі «Краса фракталів» (Образи комплексних динамічних систем) [2], там же наведені їхні численні барвисті зображення. Чи мають ці об'єкти біологічну інтерпретацію, що має під собою глибокий зміст, чи це просто красивий «сюрприз», який нам підносить базова система? Поки на це питання немає остаточної відповіді.
Обмеження по субстрату. Моделі Моно і Міхаеліса-Ментен
Однією з причин обмеження зростання може бути нестача їжі (лімітування по субстрату на мові мікробіології). Мікробіологи давно підмітили, що в умовах лімітування по субстрату швидкість росту зростає пропорційно концентрації субстрату, а якщо субстрату вдосталь - виходить на постійну величину, яка визначається генетичними можливостями популяції. Протягом деякого часу чисельність популяції зростає експоненціально, поки швидкість росту не починає лімітувати-якими іншими факторами. Це означає, що залежність швидкості росту R у формулі (1) від субстрату може бути описана у вигляді:
(5)
Тут К S -константа, рівна концентрації субстрату, при якій швидкість росту дорівнює половині максимальної. 0 - максимальна швидкість росту, рівна величині r у формулі (2). Це рівняння було вперше написано найбільшим французьким біохіміком. Жаком Моно (1912-1976). Спільно з Франсуа Жакобом їм були розроблені уявлення про роль транспортної рибонуклеїнової кислоти (mRNA) в апараті розмноження клітини. У розвиток уявлень про генних комплексах, які були ними названі опероном, Жакоб і Моно постулювали існування класу генів, що регулюють функціонування інших генів шляхом впливу на синтез транспортної РНК. Такий механізм генної регуляції згодом повністю підтвердився для бактерій, за що обом вченим (а також Андре Львову) була присуджена Нобелівська премія 1965 Нижче розглянута знаменита модель генної регуляції синтезу двох ферментів, названа триггерной моделлю Жакоба і Моно.
Жак Моно був також філософом науки і неабияким письменником. У своїй знаменитій книзі «Випадковість і необхідність», 1971 Моно висловлює думки про випадковість виникнення життя і еволюції, а також про роль людини та її відповідальності за відбуваються на Землі процеси.
Цікаво, що модель Моно (5) за формою збігається з рівнянням Міхаеліса-Ментен (1913), яке описує залежність швидкості ферментативної реакції від концентрації субстрату за умови, коли загальна кількість молекул ферменту постійно і значно менше кількості молекул субстрату:
